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방향각과 방향코사인

정의¹

3차원 벡터 $\mathbf{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$가 주어졌다고 하자. $\mathbf{a}$가 $x$-, $y$-, $z$-축과 이루는 각도를 각각 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$라 하자. 이들을 방향각^{direction angles}이라 한다.

방향각들의 코사인 $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$를 방향코사인^{direction cosines}이라 한다.

성질

방향각의 정의와 내적의 성질에 의해 방향코사인은 다음과 같다.

$$ \cos \alpha = \dfrac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{i}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{i}|} = \dfrac{a_{1}}{|\mathbf{a}|},\quad \cos \beta = \dfrac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{j}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{j}|} = \dfrac{a_{2}}{|\mathbf{a}|},\quad \cos \gamma = \dfrac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{k}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{k}|} = \dfrac{a_{3}}{|\mathbf{a}|} $$

또한 다음이 성립한다.

$$ \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = \dfrac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}{|\mathbf{a}|^{2}}= 1 $$

벡터 $\mathbf{a}$를 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$ \begin{align*} \mathbf{a} &= (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \\ &= (|\mathbf{a}|\cos \alpha, |\mathbf{a}|\cos \beta, |\mathbf{a}|\cos \gamma) \\ &= |\mathbf{a}|(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) \end{align*} $$

따라서 방향이 $\mathbf{a}$와 같은 단위벡터는 다음과 같다.

$$ \dfrac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) $$