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스칼라 삼중곱 📂수리물리

스칼라 삼중곱

정의

다음과 같은 식을 스칼라 삼중곱scalar triple product이라 한다.

A⋅(B×C) \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} )

설명

스칼라 삼중곱은 벡터 3개를 곱하는 연산 중에서 결과가 스칼라인 것을 말한다. 결과가 벡터인 것은 벡터 삼중곱이라 한다. 결과가 스칼라로 나오기 위해서는 우선 두 벡터를 외적해서 나온 벡터와 다른 벡터를 내적해야한다.

아래의 교환가능한 성질에 의해, 다음과 같은 표기법도 쓰이며 이를 그라스만 기호1라 한다.

A⋅(B×C)=[A,B,C]=[ABC] \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = [\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}] = [\mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{C}]

평행육면체

스칼라 삼중곱의 크기는 세 벡터가 만드는 평행육면체의 부피와 같다.

A⋅(B×C)=∣A∣∣B×C∣cos⁡θ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} )=|\mathbf{A}||\mathbf{B}\times \mathbf{C}| \cos\theta

∣B×C∣ |\mathbf{B} \times \mathbf{C}|는 평행육면체 바닥의 넓이, ∣Acos⁡θ∣|\mathbf{A} \cos\theta|는 높이이다. 즉, 스칼라 삼중곱은 바닥의 넓이와 높이의 곱이므로 육면체의 부피이다.

5968CB841.png

이 특징을 자세히 살펴보면 어떤 순서로 연산하더라도 같은 값이 나와야함을 알 수 있다. 왜냐하면 세 벡터가 만드는 평행육면체는 유일하기 때문이다. 따라서 다음의 식이 성립한다.

교환가능

스칼라 삼중곱의 값은 순환형태로cyclic 교환가능하다.

A⋅(B×C)=B⋅(C×A)=C⋅(A×B) \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = \mathbf{B}\cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A} ) =\mathbf{C}\cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B} )

레비-치비타 심볼을 사용해서 간단하게 증명할 수 있다.

A⋅(B×C)=Ai(B×C)i=AiϵijkBjCk=ϵijkAiBjCk \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = A_{i} (B \times C)_{i} =A_{i} \epsilon_{ijk} B_{j}C_{k} =\epsilon_{ijk}A_{i}B_{j}C_{k}

B⋅(C×A)=Bi(C×A)i=BiϵijkCjAk=ϵijkBiCjAk \mathbf{B} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A} ) = B_{i} (C \times A)_{i} =B_{i} \epsilon_{ijk} C_{j}A_{k} =\epsilon_{ijk}B_{i}C_{j}A_{k}

C⋅(A×B)=Ci(A×B)i=CiϵijkAjBk=ϵijkCiAjBk \mathbf{C} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B} ) = C_{i} (A \times B)_{i} =C_{i} \epsilon_{ijk} A_{j}B_{k} =\epsilon_{ijk}C_{i}A_{j}B_{k}

레비-치비타 심볼의 성질에 의해서 위의 세 식이 같은 값이라는 것을 알 수 있다. ABC든, BCA든, CAB든 순서만 맞으면 어떻게 계산해도 같은 값이다. 반대로 말하자면 순서가 다르면 다른 값이다. 연산에 포함된 외적의 결과가 벡터이므로 방향이 중요하기 때문이다.

A⋅(B×C)≠A⋅(C×B) \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) \neq \mathbf{A}\cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{B} )

A⋅(B×C)≠B⋅(A×C) \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) \neq \mathbf{B}\cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{C} )

스칼라 삼중곱은 행렬식의 모양으로도 나타낼 수 있다. 직교좌표계의 경우 다음과 같다.

A⋅(B×C)=ϵijkAiBjCk=∣AiAjAkBiBjBkCiCjCk∣=∣AxAyAzBxByBzCxCyCz∣ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = \epsilon_{ijk}A_{i}B_{j}C_{k}=\begin{vmatrix} A_{i} & A_{j} & A_{k} \\ B_{i}&B_{j}&B_{k} \\ C_{i}&C_{j}&C_{k} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A_{x} & A_{y} & A_{z} \\ B_{x}&B_{y}&B_{z} \\ C_{x}&C_{y}&C_{z} \end{vmatrix}

  1. 삼중곱 -위키백과 ↩︎