두 벡터의 내적과 사잇각의 관계
정리
두 벡터 $\mathbf{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$와 $\mathbf{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ 사이의 각도를 $\theta$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta $$
이때 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$는 두 벡터의 점곱(내적)이다.
따름 정리
영벡터가 아닌 두 벡터 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$가 서로 수직할 필요충분조건은 다음과 같다.
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 $$
증명
아래의 그림을 보자. 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$, 그리고 $\mathbf{a} - \mathbf{b}$는 삼각형을 이룬다.
이제 이 삼각형에 코사인 제2법칙을 적용하면 다음을 얻는다.
$$ |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta = | \mathbf{a} - \mathbf{b} |^2 $$
위 식은 내적의 성질 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = | \mathbf{a} |^{2}$에 의해서 다시 다음과 같다.
$$ \begin{align*} \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta &= (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \\ &= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \end{align*} $$
공통된 항을 소거하면 다음을 얻는다.
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta $$
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따름정리 증명
$(\Longrightarrow)$
$\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$가 수직이라고 하자. 그러면,
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \frac{\pi}{2} = 0 $$
$(\Longleftarrow)$
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$이라고 하자. 그러면,
$$ |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta = 0 $$
$\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$는 영벡터가 아니므로 $|\mathbf{a}| \ne 0$, $|\mathbf{b}| \ne 0$이다. 따라서
$$ \cos\theta = 0 \implies \theta = \frac{\pi}{2} $$
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