연속체 가설

추측

연속체 가설: $\aleph_{0} = |\mathbb{N}|$ 에 대해 $\aleph_{0} < x < 2^{\aleph_{0}}$ 를 만족하는 기수 $x$ 는 존재하지 않는다.
일반 연속체 가설: 초한기수 $a = |A|$ 에 대해 $a < x < 2^{a}$ 를 만족하는 기수 $x$ 는 존재하지 않는다.

설명

칸토어는 대각선 논법과 같은 방법으로 무한이라고 다 같은 무한이 아니라는 것을 증명해보였다. 무한집합이라고 해도 그 기수는 크기가 비교할 수 있으며, 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 과 정수 집합 $\mathbb{Z}$ 와 유리수 집합 $\mathbb{Q}$ 가 서로 대등하고 다만 실수의 집합 $\mathbb{R}$ 과는 대등하지 않다는 것도 보았다.

그러나 우리가 익숙하게 생각하는 수 체계, 그러니까 $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ 는 단지 서구인이 발견해온 순서로 나열되어있을 뿐일지도 모른다. 그 어떤 수학 책에도 $\mathbb{Q}$ 다음이 $\mathbb{R}$ 이라고 적혀있지 않다. 그것이 우리 인류에게 큰 의미가 있냐 없냐를 떠나서, $\mathbb{Q}$ 보다 조금 더 크고 $\mathbb{R}$ 보다 조금 더 작은 어떤 집합은 항상 있다. 가령 $\mathbb{Q}$ 에다가 모든 무리수가 아니라 초월수만 추가해도 ‘이런 집합’이 되긴한다. 그런데 과연 ‘그 기수는 어떻게 될 것인가’가 바로 연속체 문제^{continuum Problem} 다.

이 문제는 생각보다 어려워서 힐베르트의 23가지 문제에 꼽히기도 했다. 그리고 $x$ 가 존재하지 않을 것이라는 가설이 연속체 가설, 그 가설을 자연수의 집합이 아니라 일반적인 집합에 대해 일반화한 것이 일반 연속체 가설 이다.

연속체 문제는 훗날 ‘참이든 거짓이든 모순이 일어나지 않는다’, 다시 말해 ‘참이든 거짓이든 증명하는 것이 의미없다’는 것을 보임으로써 해결되었다. 한번만 더 강조를 하자면, $\aleph_{0} < x < 2^{\aleph_{0}}$ 를 만족하는 $x$ 가 존재한다거나 존재하지 않는다는 것을 증명한 것이 아니라 존재하든 존재하지 않든 괜찮다는 것을 증명한 것이다.