위상 동형 사상은 기저를 보존함을 증명
정리
두 위상공간 $X$, $Y$와 둘 사이의 위상동형사상 $f$가 주어졌다고 하자. $$ f\ :\ X \rightarrow Y $$ $\mathcal{B}_{X}$를 $X$의 기저라고 하면 $f(\mathcal{B}_{X})$는 $Y$의 기저가 된다.
설명
쉽게 말해, 위상 동형 사상은 기저를 보존한다.
증명
집합 $X$에 대해서 아래의 두 조건을 만족하는 $X$의 부분집합의 컬렉션 $\mathcal{B}$를 $X$상의 위상의 기저라고 말한다.
- $(b1)$: 임의의 $x\in X$에 대해서 $x \in B$를 만족하는 $B \in \mathcal{B}$가 존재한다. 즉, $\bigcup \nolimits_{B\in\mathcal{B}} B=X$
- $(b2)$: 임의의 $B_{1},B_2 \in \mathcal{B}$와 $x\in \big( B_{1} \cap B_2 \big)$에 대해서 $x \in B_{3} \subset \big( B_{1} \cap B_2 \big)$를 만족하는 $B_{3} \in \mathcal{B}$가 존재한다.
$f(\mathcal{B}_{X})$ 가 $Y$ 에서 두 조건을 만족하는지 확인하면 된다.
$(b1)$
$\mathcal{B}_{X}=\left\{ B_{X}^1,\ B_{X}^2,\ \cdots \right\}$라고 하자. $\bigcup f(B_{X}^k)=Y$임을 보이면 된다. $f$가 위상동형사상이므로 임의의 $y \in Y$에 대해서 $f^{-1}(y)$가 존재한다. 그러면 각각의 $y$에 대해서 $f^{-1}(y) \in B_{X}^k$를 만족하는 $B_{X}^k$가 존재한다. 또한 $f(\bigcup\nolimits_{i} A_{i})=\bigcup\nolimits_{i} f(A_{i})$이므로1 $$ \bigcup f(B_{X}^k)=f( \bigcup B_{X}^k )=f(X)=Y $$
$(b2)$
위에서와 마찬가지로 임의의 $y$에 대해서 $f^{-1}(y)$가 존재한다. 기저의 정의에 의해 $f^{-1}(y) \in \big( B_{X}^1 \cap B_{X}^2 \big)$에 대해서 아래의 조건을 만족하는 $B_{X}^3$이 존재한다. $$ f^{-1}(y) \in B_{X}^3 \subset \big( B_{X}^1 \cap B_{X}^2 \big) $$ 그러면 $y \in f(B_{X}^3)$이고, $f$가 전단사함수라 교집합을 보존2하므로 $$ f(B_{X}^3) \subset f\big( B_{X}^1 \cap B_{X}^2 \big)=f(B_{X}^1)\cap f(B_{X}^2) $$ 따라서 $y\in f(B_{X}^3)\subset \big( f(B_{X}^1) \cap f(B_{X}^2) \big)$를 만족하는 $f(B_{X}^3)$이 존재한다.따라서 $f(\mathcal{B}_{X})$는 조건 $(b1)$, $(b2)$를 만족하므로 $Y$의 기저이다.
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