파이 시스템과 람다 시스템
정의
- 다음을 만족하는 $\mathcal{P}$ 을 $\pi$-시스템이라 한다. $$ A, B \in \mathcal{P} \implies A \cap B \in \mathcal{P} $$
- 다음의 조건들을 만족하는 $\mathcal{L}$ 을 $\lambda$-시스템이라 한다.
- (i): $\emptyset \in \mathcal{L}$
- (ii): $A \in \mathcal{L} \implies A^{c} \in \mathcal{L}$
- (iii): 모든 $i \ne j$ 에 대해 $\displaystyle A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ 일 때, $\displaystyle \left\{ A_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L} \implies \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \mathcal{L}$
설명
측도론에서의 시스템system이란 컬렉션 상에서 정의된 일종의 대수구조로 볼 수 있다. 물론 추상대수가 이 모든걸 아우를 수 없었기 때문에 그룹이다, 링이다 하지 않고 별도로 이런 단어를 만들어 쓰는 것이다.
- 파이 시스템은 굳이 시스템의 이름이 붙어있을 정도로 좋은 조건이 아닌 것처럼 보이지만, 교집합에 대해 닫혀있다는 것은 생각보다 강력하다. 이것만으로도 공집합을 반드시 가지는데, 수학적인 논의에서 첫번째 조건으로 공집합을 언급하는 경우가 잦다는 점을 생각해보면 사실 벌써 두 가지 성질을 가지는 것이나 마찬가지라고 볼 수 있다.
- 람다 시스템은 시그마 알지브라와 매우 흡사하며, 차이점은 집합의 시퀀스가 디스조인트($i \ne j \implies \displaystyle A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$) 해야한다는 조건이 있다는 것이다. 이 조건이 주어짐으로써 $\mathcal{L}$ 을 상상하는 것은 더욱 쉬워진다.