📂집합론

수학에서 포화, 파이버의 정의

정의

1. 두 집합 $X$, $Y$와 함수 $\pi\ :\ X\rightarrow Y$가 주어졌다고 하자. 만약 $\pi^{-1}\big( \pi (u) \big)=u$ 가 성립하면, $u\subset X$를 포화^Saturation라고 한다.
2. 집합 $\pi^{-1}(y) \subset X$를 점 $y\in Y$위의 $\pi$의 파이버^Fiber 혹은 올이라고 한다.

설명

$\pi^{-1}$는 프리이미지이다. 아래의 그림을 통해 쉽게 이해해보자.

포화

$u$는 항상 $\pi^{-1} \big( \pi (u) \big)$보다 작거나 같다. 따라서 $u$가 포화라는 것은 $u$가 커질 수 있는 만큼 최대한으로 커졌다고 이해할 수 있다.

파이버

쉽게 말해서 한 점에 대한 프리이미지이다. 왜 fiber라고 부르는지는 아래 그림을 보면 직관적으로 와닿을 것이다.

또한 두 정의에 의해 아래의 사실이 성립함은 쉽게 알 수 있다.

정리

$u \subset X$가 포화인 것은 $u$가 $\pi\ :\ X\rightarrow Y$의 파이버들의 합집합인 것과 동치이다.