📂집합론

분리합집합: 서로소인 합집합

정의

$\left\{ X_{\alpha} \right\} _{\alpha\in A}$를 임의의 인덱스 패밀리라고 하자. 다음과 같은 순서쌍들의 집합을 $\left\{ X_{\alpha}\right\}$ 분리합집합^{disjoint union, 서로소합집합}이라 한다.

$$\bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_{\alpha} := \left\{ (x,\alpha)\ |\ x\in X_{\alpha},\ \alpha \in A \right\}$$

설명

$\bigsqcup$ 대신에 $\amalg$, $\biguplus$등을 쓰기도 한다. $\amalg$는 대문자 파이 $\Pi$가 아님에 주의하자. $\Pi$를 뒤집은 모양이다.

실제로는 다르지만 같아 보이는¹ 원소들을 구별할 수 있도록 합집합을 할 때 어느 집합의 원소인지에 대한 정보를 추가하는 것이다. 예를 들어 1반 학생의 집합을 $X_{1}=\left\{ \right.$김철수, 김영희, 박수철, 이희영$\left. \right\}$, 2반 학생의 집합을 $X_{2}=\left\{ \right.$김철수, 김영희, 권현수, 최창식$\left. \right\}$이라고 하자. 그러면 1반의 김철수, 김영희와 2반의 김철수, 김영희는 분명히 다른 사람이지만 겉으로 보기에 같아 보인다. 따라서 그대로 합집합을 할 경우$\left\{\right.$김철수, 김영희, 박수철, 이희영, 권현수, 최창식$\left. \right\} \ne X_{1} \cup X_{2}$와 같이 실제 합집합을 표현하지 못할 수 있다. 반면에 $X_{1}$, $X_{2}$의 분리 합집합을 구하면

$$\bigsqcup \limits_{i=1,2} X_{i} =\left\{(\text{김철수},1), (\text{김영희},1), (\text{박수철},1), (\text{이희영},1), (\text{김철수},2), (\text{김영희},2), (\text{권현수},2), (\text{최창식},2) \right\}$$

각자 어느 반인지 확실히 표시해서 서로 다른 두 원소가 같은 취급을 당하는 일이 없다. 위 개념을 잘 이해했다면 아래의 등식이 성립함을 알 수 있을 것이다.

$$\mathbb{R}^2 = \bigsqcup_{\alpha \in \mathbb{R}} \mathbb{R}_{\alpha}$$

물론 이는 추상적인 엄밀함을 말하기 위한 것이므로, 실제로 쓸 때는 이런식으로 번거롭게 표기하지않고 겹치지 않게 합집합했다고 생각한다. 즉 각각의 $\alpha \in A$에 대해서 아래와 같은 자연스러운 매핑을 생각해서 $x = (x,\alpha)$로 취급한다.

$$\iota_{\alpha} : X_{\alpha} \hookrightarrow \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_{\alpha} \quad \text{by } x \mapsto (x,\alpha)$$

$X_\alpha$와 $\iota_\alpha (X_\alpha)$를 같다고 보는 것이다. 어차피 분리합집합을 생각해주는 이유는 "1반 김철수랑 2반 김철수랑 다른 사람입니다~ 헷갈리지 마세요"를 말하고 싶은 것이므로, 실질적으로는 다음과 같이 다룬다.

$$\bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_{\alpha} \approxeq \bigcup \limits_{\alpha \in A} X_{\alpha}$$