서브 마틴게일 수렴 정리 증명
정리
확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 서브 마틴게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 주어져 있다고 하자.
$\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty$ 이라고 하면 $X_{n}$ 은 어떤 확률 변수 $X_{\infty}: \Omega \to \mathbb{R}$ 로 거의 확실히 수렴하고 $$E X_{\infty} < E X_{\infty}^{+} < \infty$$
증명
전략: 리미트 슈프리멈과 리미트 인피멈의 성질을 사용한다. $$ X^{\ast}:= \limsup_{n \in \mathbb{N}} X_{n} \\ X_{\ast}:= \liminf_{n \in \mathbb{N}} X_{n} $$ 이라고 하면 $$ \left( X^{\ast} > X_{\ast} \right) = \bigcup_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) $$ 인데, 여기서 $a,b \in \mathbb{Q}$ 이므로 $(X^{\ast} > X_{\ast})$ 를 $P$ 로 카운터블하게 쪼갤 수 있게 된다. 그러면 $X^{\ast}$ 와 $X_{\ast}$ 사이의 모든 유리수 $a$, $b$ 에 대해서 $P \left( X^{\ast} >b >a> X_{\ast} \right) = 0$ 면 $P \left( X^{\ast} > X_{\ast} \right) = 0$ 이 되고, 이는 거의 확실히 $\displaystyle X^{\ast} = \limsup_{n \in \mathbb{N}} X_{n} \le \liminf_{n \in \mathbb{N}} X_{n} = X_{\ast}$ 이라는 뜻이므로 $X_{n}$ 이 거의 확실히 $X_{\infty}$ 으로 수렴함을 보인 게 된다.
Part 1. $P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \le P \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right) $
두 유리수 $a, b \in \mathbb{Q}$ 가 이루는 폐구간 $[a,b]$ 에 대해 $N$ 까지 업크로싱의 횟수를 $\beta_{N} (a,b) $ 라고 하고 그 극한을 $\displaystyle \beta_{\infty} (a,b):= \lim_{N \to \infty} \beta_{N} (a,b)$ 라고 두자. 만약 $X^{\ast} > b > a > X_{\ast}$ 면 $X_{n}$ 은 무한히 많은 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $a$ 아래로도 내려가고 $b$ 위로도 올라갔다는 의미가 된다. 따라서 $\beta_{\infty} (a,b) = \infty$ 이고, 이를 명제로 적으면 $$ X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \implies \beta_{\infty} (a,b) = \infty $$ 집합 표현으로 바꿔 적으면 $$ \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \subset \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right) $$ 확률 $P$ 를 취하면 $$ P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \le P \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right) $$
Part 2. $P \left( \beta_{\infty} (a,b) < \infty \right) = 1$
$$ P \left( |X| = \infty \right) \ne 0 \implies E \left( |X| \right) = \infty $$ 이므로 대우법에 의해 거의 확실히 $$ E \beta_{\infty} (a,b) < \infty \implies \beta_{\infty} (a,b) < \infty $$
업크로싱의 기대값 상한: $\displaystyle E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }}$
단조 수렴 정리: 함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 이 $f_{n} \nearrow f$ 을 만족한다고 하자. 그러면 $$ \lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm $$
가정에 따라 $$ E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }} \le {{ \sup_{N \in \mathbb{N}} E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }} < \infty $$ 인데, $\beta_{N} (a,b)$ 의 정의에 따라 $\beta_{N} (a,b) \nearrow \beta_{\infty} (a,b)$ 이므로 단조 수렴 정리에 의해 $$ \begin{align*} \infty &>& \lim_{N \to \infty} E \beta_{N} (a,b) \\ =& E \lim_{N \to \infty} \beta_{N} (a,b) \\ =& E \beta_{\infty} (a,b) \end{align*} $$ 정리하면 $E \beta_{\infty} (a,b) < \infty$ 이므로 거의 확실히 $\beta_{\infty} (a,b) < \infty$, 다시 말해 $P \left( \beta_{\infty} (a,b) < \infty \right) = 1$ 이 성립한다.
Part 3. $\displaystyle P \left( X^{\ast} = X_{\ast} \right) = 1$
위의 Part 1~2에 따라 $X^{\ast} > b > a > X_{\ast}$ 인 모든 $a, b \in \mathbb{Q}$ 에 대해 $$ P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \le P \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right) = 0 $$ 확률 $P$ 는 측도이므로 $$ \begin{align*} P \left( X^{\ast} > X_{\ast} \right) =& P \left[ \bigcup_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \right] \\ =& \sum_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \\ \le & \sum_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} 0 \\ =& 0 \end{align*} $$ 정리하면 $P \left( X^{\ast} \le X_{\ast} \right) = 1$ 이므로, $X_{n}$ 의 극한 $X_{\infty}$ 는 거의 확실히 존재한다.
Part 4. $E X_{\infty} < \infty$
절대값의 분해에 따라 $$ |X_{n}| = X_{n}^{+} + X_{n}^{-} = 2 X_{n}^{+} - X_{n} $$ $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 는 서브 마틴게일이므로 $E X_{n} \ge E X_{1}$ 이어서 $$ E |X_{n}| = 2 E X_{n}^{+} - E X_{n} \le 2 E X_{n}^{+} - E X_{1} $$ 가정에서 $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty$ 이었으므로 $$ \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | \le 2 \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} - E X_{1} < \infty $$
파투의 보조정리: 함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 에 대해 $$\displaystyle \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$
$\sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty$ 이고 파투의 보조정리에 따라 $$ \begin{align*} \infty &>& \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | \\ \ge& \liminf_{n \to \infty} E | X_{n} | \\ =& \liminf_{n \to \infty} \int_{\Omega} | X_{n} | d P \\ =& \int_{\Omega} \liminf_{n \to \infty} | X_{n} | d P \\ =& \int_{\Omega} | X_{\infty} | d P \\ =& E |X_{\infty}| \end{align*} $$ 따라서 $E | X_{\infty} |$ 역시 존재한다.
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따름정리
특히 증명과정의 Part 4. 에서 $X_{n} < 0$ 이면 $X_{n} = X_{n}^{+} - X_{n}^{-}$ 에서 $X_{n}^{+} = 0$ 이므로 조건 $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty$ 조차 필요없어짐을 알 수 있다.