📂측도론

복소 측도, 벡터 측도

정의¹

$(X,\mathcal{E})$를 가측공간이라고 하자. 아래의 조건을 만족하는 함수 $\nu : \mathcal{E} \to \mathbb{C}$를 $(X,\mathcal{E})$ 위의 복소 측도^{complex measure} 혹은 벡터 측도^{vector measure}라고 한다.

• (a) $\nu (\varnothing) = 0$
• (b) 서로소인 $E_{j} \in \mathcal{E}$에 대해서, $$\nu \left( \bigcup \limits_{j=1}^\infty E_{j} \right) = \sum \limits_{1} ^\infty \nu (E_{j})$$

설명

(b) 는 가산가법성을 의미한다. 복소 측도는 측도, 부호측도와는 다르게 확장된 실수값을 갖지 않도록 정의했다. 모든 방향에서 무한대 값을 가질 수 있기 때문이다. 따라서 유한 양측도는 복소 측도이다. 복소 측도 $\nu$를 아래와 같이 실수 부분, 허수 부분으로 나눌 수 있다.

$$\begin{align*} \nu (E) &= \nu_{r} (E) + i \nu_{i} (E) \\ \nu_{r} (E) &= \text{Re} \big( \nu (E) \big) \\ \nu_{i} (E) &= \mathrm{Im} \big( \nu (E) \big) \end{align*}$$

그러면 $\nu_{r}$, $\nu_{i}$는 실수값을 가지는 부호측도가 된다. 적분에 대해서는 다음과 같이 자연스럽게 확장이 가능하다.

$$L^1(\nu) \iff L^1(\nu_{r}) \cap L^1 (\nu_{i}) \\ \int f d\nu=\int f d\nu_{r} + i\int f d\nu_{i}\quad \mathrm{for} f\in L^1(\nu)$$

또한 두 복소 측도 $\nu$, $\mu$가 뮤츄얼리 싱귤러하다는 것은 각각의 실수, 허수 부분이 각각 싱귤러한 것으로 정의한다.

$$\nu \perp \mu \iff \nu_{a} \perp \mu _{b} \quad \mathrm{for} a,b=r,i$$

마찬가지로 $\lambda$를 양측도라고 할 때 $\nu_{r}$, $\nu_{i}$가 각각 $\lambda$에 대해서 절대연속이면 복소 측도 $\nu$가 $\lambda$에 대해서 절대연속이라 한다.

같이보기

• 측도
• 부호 측도