선택 공리가 추가된 체르멜로-프렝켈 집합론
체르멜로 공리계
- [1] 외연 공리: $$ \forall A \forall B ( \forall x ( x \in A \iff x \in B) ) $$ 임의의 두 집합 $A$, $B$ 에 속한 원소가 같으면 두 집합이 같다고 하고 $A = B$ 와 같이 나타낸다.
- [2] 공집합 공리: $$ \exists X \forall x \left( \lnot \left( x \in X \right) \right) $$ 어떤 원소도 가지지 않는 집합 $X$ 가 존재하고, 이 집합 $X$ 를 공집합이라고 정의한다.
- [3] 짝 공리: $$ \forall A \forall B \exists U ( a \in A \land b \in B ) $$ 임의의 두 집합 $A$, $B$ 에 대해 $A$ 와 $B$ 를 원소로 가지는 집합 $U$ 가 존재한다.
- [4] 분류 공리꼴: $$ \forall X \exists A \forall a \left( a \in A \iff ( a \in X \land p(a)) \right) $$ 임의의 집합 $X$ 에 대해 성질 $p$ 를 가지는 원소들로 이루어진 부분집합 $A$ 가 존재한다.
- [5] 합집합 공리: $$ \forall X \left( \exists U \left( \forall a \left( a \in x \land x \in X \implies a \in U \right) \right) \right) $$ 임의의 집합 $X$ 에 대해 $X$ 모든 원소들의 원소들을 포함하는 집합 $U$ 가 존재한다.
- [6] 멱집합 공리: $$ \forall X \exists P \forall A ( A \subset X \implies A \in P) $$ 임의의 집합 $X$ 에 대해 $X$ 의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합 $P$ 가 존재한다.
- [7] 무한 공리: $$ \exists U \left( \emptyset \in U \land \forall X ( X \in U \implies S(X) \in U) \right) $$ 공집합과 $X$ 를 원소로 가지면 $S(X)$ 도 원소로 가지는 집합 $U$ 가 존재한다.
체르멜로 공리계는 러셀의 역설로 드러난 집합론의 문제점을 보완하기 위해 도입된 공리계로, 이상의 일곱가지 공리들을 일컫는다. 한편 이와 대비되는 용어로써 칸토어가 제창했던 집합론을 미숙한 집합론naive Set theory이라고도 부른다. 체르멜로 공리계는 칸토어 집합론과 달리 자연어로 정의된 많은 개념들을 수리논리적으로 명확히 정의하고 그 존재성을 공고히 하는 공리들을 포함하고 있다. 공집합, 합집합, 교집합, 멱집합 등은 이미 충분히 자연스러운 개념으로 취급되었으나, 사실 그런 말만으로는 충분하지가 않았던 것이다.
체르멜로-프렝켈 공리계
- [8] 정칙성 공리: $$ \forall X \left( \exists x_{0} ( x_{0} \in X ) \implies \exists y ( y \in X \land \lnot \exists x ( x \in y \land x \in X )) \right) $$ 모든 집합 $X \ne \emptyset$ 은 자기 자신과 서로소인 원소를 가진다.
- [9] 치환 공리꼴: $$ \forall X \left( \forall x \in X \exists ! y \left( p(x,y) \right) \implies \exists Y \forall x \in X \exists y \in Y \left( p(x,y) \right) \right) $$ 모든 함수에 대한 치역이 존재한다.
거기에 위의 두 가지를 더한 것을 체르멜로-프렝켈 공리계, 줄여서 ZF 공리계라고 한다.
선택공리가 추가된 체르멜로-프렝켈 공리계
- [10] 선택 공리: $$ \forall U \left( \emptyset \notin U \implies \exists f: U \to \bigcup_{X \in U \\ f(X) \in X } U \right) $$ 모든 공집합이 아닌 집합들의 집합 $U$ 에 대해 $U$ 의 모든 원소로부터 원소 하나씩을 선택하는 선택 함수 $f$ 가 존재한다.
마지막으로, 선택 공리가 추가된 체르멜로-프렝켈 공리계를 ZFC 공리계라고 줄여 부른다. 선택 공리는 곱씹을수록 당연한지만은 않지만 선택 공리를 받아들였을 때 얻을 수 있는 결과가 매우 유용하기 때문에 보통 받아들이는 편이며, 현대 주류 수학에서 집합론의 공리계라고 하면 ZFC 공리계를 의미한다고 보아도 무방하다. 선택 공리가 실제로 참이든 거짓이든 ZF 하에서는 모순이 없기 때문에 거부해도 상관은 없으나, 그런 일은 거의 없다.