정지 시간의 성질들
정리
확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 와 마틴 게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 이 주어져 있다고 하자. 정지 시간 $\tau$ 에 대해 $\mathcal{F}_{\tau}:= \left\{ A \in \mathcal{F}: A \cap ( \tau = n ) \in \mathcal{F}_{n} \right\}$ 을 $\tau$ 에 의해 유도된 시그마 필드라 한다.
- [1]: $\mathcal{F}_{\tau}$ 는 시그마 필드다.
- [2]: $\tau$ 는 $\mathcal{F}_{\tau}$-가측 함수다.
- [3]: 마틴 게일 $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ 에 대해 $X_{\tau}$ 는 $\mathcal{F}_{\tau}$-가측 함수다.
- [4]: $\mathbb{1}_{(\sigma = n)}$ 은 $\mathcal{F}_{\sigma}$-가측 함수다.
- [5]: $Z_{n}$ 가 $F_{n}$-가측 함수면 $Z_{n} \mathbb{1}_{\sigma = n}$ 은 $\mathcal{F}_{\sigma}$-가측 함수면서 $\mathcal{F}_{n}$-가측 함수다. 그 뿐만 아니라, $Z_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} = Z_{\sigma} \mathbb{1}_{(\sigma = n)}$ 이 성립한다.
- [6]: $E(X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} ) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} = E(X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} ) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \text{ a.s.}$
- 보렐 셋 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ 에 대해 $(\tau \in B) = \tau^{-1} (B)$ 로써, $(\tau = n)$ 은 $\tau^{-1} ( \left\{ n \right\} )$ 과 같다.
- $\tau$ 가 $\mathcal{F}_{n}$-가측 함수라는 것은 모든 보렐 셋 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ 에 대해 $\tau^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{n}$ 라는 의미다.
- 확률 과정 $\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}_{0}}$ 이 주어져 있을 때, $\omega \in \Omega$ 에 대해 $X_{\tau}$ 는 다음을 의미한다. $$ X_{\tau} = X_{\tau} ( \omega )= X_{\tau (\omega)} ( \omega ) $$
설명
정지 시간은 본질적으로 우리가 원하는 어떤 타이밍을 나타내기 위한 확률 변수로 이해할 수 있다.
증명
[1]
$\mathcal{F}_{\tau}$ 가 시그마 필드의 조건을 만족하는지 확인하면 된다.
Part (i). $\emptyset \in \mathcal{F}_{\tau}$
$\mathcal{F}$ 와 $\mathcal{F}_{n}$ 는 시그마 필드이므로 $\emptyset$ 을 포함한다. 따라서 $\emptyset \in \mathcal{F}_{\tau}$ 이다.
Part (ii). $A \in \mathcal{F}_{\tau} \implies A^{c} \in \mathcal{F}_{\tau}$
$$ A^{c} \cap ( \tau = n ) = ( \tau = n ) \setminus \left[ A \cap ( \tau = n ) \right] $$ 인데 $( \tau = n) \in \mathcal{F}_{n}$ 이고 $A \in \mathcal{F}_{\tau}$ 면 $F_{\tau}$ 의 정의에 따라 $A \cap ( \tau = n) \in \mathcal{F}_{n}$ 이므로 $A^{c} \in \mathcal{F}_{\tau}$
Part (iii). $\displaystyle \left\{ A_{n} \right\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}_{\tau} \implies \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{F}_{\tau}$
$i = 1 , 2, \cdots$ 에 대해 $A_{i} \in \mathcal{F}_{\tau}$ 면 $F_{\tau}$ 의 정의에 따라 $A_{i} \cap ( \tau = n) \in \mathcal{F}_{n}$ 다. 따라서 $$ \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \cap (\tau = n ) = \bigcup_{i=1}^{\infty} \left[ A_{i} \cap ( \tau = n) \right] \in \mathcal{F}_{n} $$ 다시 한 번 $F_{\tau}$ 의 정의에 따라 $$\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{F}_{\tau}$$
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[2]
가측 함수의 동치조건에 따라 $\tau$ 가 $\mathcal{F}_{\tau}$-가측 함수인지 확인하려면 모든 $k \in \mathbb{R}$ 에 대해 $( \tau \le k ) \in \mathcal{F}_{\tau}$ 인지만 확인하면 충분하다. $$ ( \tau \le k ) \cap ( \tau = n) = \begin{cases} \emptyset &, k < n \\ (\tau = n) &, k \ge n \end{cases} $$ 여기서 $\emptyset \in \mathcal{F}_{n}$ 이고 $(\tau =n ) \in \mathcal{F}_{n}$ 이므로 $k \in \mathbb{R}$ 이 무엇이든 $( \tau \le k ) \cap ( \tau = n) \in \mathcal{F}_{n}$ 이다. 따라서 모든 $k \in \mathbb{R}$ 에 대해 $( \tau \le k ) \in \mathcal{F}_{\tau}$ 이고, $\tau$ 는 $\mathcal{F}_{\tau}$-가측 함수다.
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[3]
임의의 보렐 셋 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ (X_{\tau} \in B) \cap (\tau = n) = (X_{n} \in B) \cap (\tau = n) $$ 그 이유는 $(X_{\tau} \in B)$ 과 $(X_{n} \in B)$ 은 $(\tau = n)$ 과의 교집합을 취했을 때 오직 $\tau = n$ 인 경우만을 생각하기 때문이다. 이는 마치 조건부 기대값 $E(Y|X)$ 를 계산할 때 $X=x$ 와 같이 값이 고정되면 그 경우만 생각하는 것과 비슷하다. 한편 마틴게일의 정의에 따라 $(X_{n} \in B) \in \mathcal{F}_{n}$ 이어야하고, 정지 시간의 정의에 따라 $(\tau = n ) \in \mathcal{F}_{n}$ 이다. 따라서 $\left[ (X_{\tau} \in B) \cap (\tau = n) \right] \in \mathcal{F}_{\tau}$ 이고, $X_{\tau}$ 는 $\mathcal{F}_{\tau}$-가측 함수다.
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[4]
사건 $A \in \mathcal{F}$ 에 대해 $\mathbb{1}_{A}$ 은 다음과 같이 세가지 중 하나로 나타난다. $$ ( \mathbb{1}_{A} \le a ) = \begin{cases} \Omega &, a \ge 1 \\ A^{c} &, a \in [0,1) \\ \emptyset &, a < 0 \end{cases} $$ 따라서 사건 $A = (\sigma = n)$ 가 주어지면 모든 보렐 셋 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ 에 대해 $\emptyset, (\sigma \ne n), \Omega \in \mathcal{F}_{\sigma}$ 이므로 $( \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \le a ) \in \mathcal{F}_{\sigma}$ 이다. 다시 말해, $\mathbb{1}_{(\sigma = n)}$ 는 $\mathcal{F}_{\sigma}$-가측 함수다.
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[5]
$$ Z_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} = \begin{cases} Z_{\sigma} \cdot 1 &, \sigma = n \\ 0 &, \sigma \ne 0 \end{cases} $$ 이므로 $Z_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} = Z_{\sigma} \mathbb{1}_{(\sigma = n)}$ 가 성립한다. [3]에 의해 $Z_{\sigma}$ 는 $\mathcal{F}_{\sigma}$-가측 함수고 [4]에 의해 $\mathbb{1}_{(\sigma = n)} $도 $\mathcal{F}_{\sigma}$-가측 함수였이므로 그 곱과 같은 $Z_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)}$ 역시 $\mathcal{F}_{\sigma}$-가측 함수다.
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[6]
$E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right)$ 은 $\mathcal{F}_{n}$-가측이므로 $E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{ \sigma = n}$ 은 [4]에 의해 $\mathcal{F}_{\sigma}$-가측이다. 한편 $\mathbb{1}_{(\sigma=n)}$ 은 스무딩 성질에 의해 $\mathcal{F}_{\sigma}$-가측 함수이므로 $E ( \cdot | \mathcal{F}_{\sigma} )$ 안팎을 넘나들 수 있으므로
스무딩 성질: $X$ 가 $\mathcal{G}$-가측이면 $E(XY | \mathcal{G}) = X E (Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.}$
조건부 기대값의 성질: $X$ 가 $\mathcal{F}$-가측이면 $E(X|\mathcal{F}) =X \text{ a.s.}$
한편 위와 같은 성질들에 따라, 모든 $A \in \mathcal{F}_{\sigma}$ 에 대해 $$ \begin{align*} \int_{A} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP =& \int_{A} E \left( X_{\tau} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) dP \\ =& \int_{A} X_{\tau} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \\ =& \int_{A \cap (\sigma = n)} X_{\tau} dP \\ =& \int_{A} X_{\tau} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \\ =& \int_{A \cap (\sigma = n)} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A } E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \end{align*} $$ $\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}$ 이므로 $$ E(X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} ) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} = E(X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} ) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \text{ a.s.} $$
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