치환 공리꼴

공리

$$ \forall X \left( \forall x \in X \exists ! y \left( p(x,y) \right) \implies \exists Y \forall x \in X \exists y \in Y \left( p(x,y) \right) \right) $$ 모든 함수에 대한 치역이 존재한다.

기호 $\exists !$ 는 유일하게 존재함을 의미한다.
여기서 $p(x,y)$ 는 $X \times Y$ 에서의 명제함수다.

설명

명제함수 $p(x,y)$ 는 물론 함수지만 엄밀하게 말해 아직 함수로써 정의된 것은 아니며, 설령 함수로 정의되었다고 할지라도 위 공리에서 말하는 함수 그 자체는 아니다. 논리식 $p(x,y)$ 자체가 말하는 것은 $x \in X$ 가 주어졌을 때 $y \in Y$ 이 존재한다는 말이다:

예컨대 $p$ 는 $p(x,y): y = 2x$ 와 같이 주어질 수 있으며, 이때 치역이 존재하는 그 함수는 $f(x) = 2x$ 지 $p(x,y)$ 가 아니다. 치환 공리꼴에 따라 함수 $f$ 에 대한 $X = [0,1]$ 의 상 $Y = f [ 0 ,1] = [0,2]$ 이 존재하는 것이다.

공리가 아니라 공리꼴인 이유는 이 공리가 무수히 많은 $p(x,y)$ 에 따라 무수히 많이 존재하기 때문이다. 서로 다른 두 명제함수 $p_{1}(x,y): y = \sin x$ 와 $p_{2}(x,y): y = 2x$ 가 있다고 하면 $Y = f_{2} [ 0,1] = [0,2]$ 의 존재성을 보장하는 것은 ‘$p_{1}(x,y)$ 에 대한 치환 공리’가 아니라 ‘$p_{2}(x,y)$ 에 대한 치환 공리’다.