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마틴게일의 정의 📂확률론

마틴게일의 정의

정의

확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 이 주어져 있다고 하자.

  1. F\mathcal{F} 의 서브 시그마 필드의 시퀀스 {Fn}n∈N\left\{ \mathcal{F}_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 이 다음을 만족하면 필트레이션filtration이라 부른다. ∀n∈N,Fn⊂Fn+1 \forall n \in \mathbb{N}, \mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F}_{n+1}
  2. 필트레이션 {Fn}n∈N\left\{ \mathcal{F}_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 이 주어져 있을 때 르벡 적분 가능한 Fn\mathcal{F}_{n}-가측 확률 변수 XnX_{n} 의 시퀀스 {Xn}n∈N\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 가 이루는 순서쌍의 시퀀스 {(Xn,Fn)}\left\{ (X_{n}, \mathcal{F}_{n}) \right\} 이 다음을 만족하면 마틴게일이라 한다. ∀n∈N,E(Xn+1∣Fn)=Xn \forall n \in \mathbb{N}, E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) = X_{n}
  • Fn\mathcal{F}_{n} 가 F\mathcal{F} 의 서브 시그마 필드라는 것은 둘 다 Ω\Omega 의 시그마 필드이되, Fn⊂F\mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F} 임을 의미한다.
  • XnX_{n} 이 Fn\mathcal{F}_{n}-가측 함수라는 것은 모든 보렐 셋 B∈B(R)B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) 에 대해 Xn−1(B)∈FnX_{n}^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{n} 라는 의미다.

설명

참고로 다음을 각각 서브 마틴게일 , 슈퍼 마틴게일이라 한다. 부등호는 우변이 작아지면 서브, 우변이 커지면 슈퍼로 외우는 게 덜 헷갈릴 것이다. ∀n∈N,E(Xn+1∣Fn)≥Xn∀n∈N,E(Xn+1∣Fn)≤Xn \forall n \in \mathbb{N}, E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) \ge X_{n} \\ \forall n \in \mathbb{N}, E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) \le X_{n} 물론 서브 마틴게일이면서 슈퍼 마틴게일인 것은 마틴게일인 것과 동치다. 그래서 서브 마틴게일이든 슈퍼 마틴게일에 대해서 성립하는 정리가 있다면 마틴게일에도 그대로 적용할 수 있다.

마틴게일을 직관적으로 이해하는 것은 시그마 필드를 사건의 집합, ‘정보’로 생각하는 것에서 시작된다:

  1. 필트레이션: ∀n∈N,Fn⊂Fn+1\forall n \in \mathbb{N}, \mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F}_{n+1}, 그러니까 시그마 필드가 더 크다는 말은 그만큼 더 많은 정보가 있다는 의미다. 마틴게일의 정의에서 프로세스 XnX_{n} 이 Fn\mathcal{F}_{n}-가측이라는 것은 실제 데이터 xnx_{n} 이 관측됨에 따라 시그마 필드 Fn\mathcal{F}_{n} 도 넓어지며 nn 번째까지의 모든 정보는 획득했다고 보아도 무방하다.
  2. 마틴게일: ∀n∈N,E(Xn+1∣Fn)=Xn\forall n \in \mathbb{N}, E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) = X_{n} 이란 곧 nn 번째까지의 정보 Fn\mathcal{F}_{n} 를 알 때 그 다음 상황인 Xn+1X_{n+1} 역시 XnX_{n} 과 비슷할 것으로 상정하는 것을 의미한다. Xn+1X_{n+1} 의 기대값이 이제까지 얻어놓은 Fn\mathcal{F}_{n} 와 아무 상관없이 구해질거라면 이러한 확률 과정은 백색 잡음이나 다름 없고 통계적 분석의 대상이 되지 못한다. 고로, 마틴게일의 직관적인 정의는 ‘우리가 어떤 유리한 정보를 가져서 수학, 통계적으로 더 좋은 결과를 알 수 있는 확률 과정‘이라고 할 수 있다.

유래

프랑스의 한 마을이었던 ‘마르티그’에서는 소위 말하는 ‘묻고 따블 전략’이 유행했었다고 한다. 한 판을 지면 그 손실을 만회하기 위해 더 큰 베팅을 반복하는 방식인데, 심리적인 측면은 둘째 치고 이게 과연 현명한 방법인가 하는 부분에 대해서는 고민을 해 봐야 한다. 수학적으로 보았을 때 이러한 전략의 본질은 E(Xn+1∣X1,⋯ ,Xn)=Xn+1 E \left( X_{n+1} | X_{1} , \cdots , X_{n} \right) = X_{n+1} 이라는 수식, 다시 말해 마틴게일로 요약될 수 있다. ‘지금까지 계속 졌으니까 이번엔 이기겠지’라는 도박사의 오류를 지적하며, 왜 마틴게일 베팅이 무의미한지를 설명한다.

예시

(1)

ϕ=1\phi = 1 인 자기 회귀 과정 AR(1)AR(1) Xn+1=Xn+εnX_{n+1} = X_{n} + \varepsilon_{n} 을 생각해보자. 필트레이션이 주어져있다면 XnX_{n} 에 대한 모든 정보는 모두 알고 있으므로 조건부 기대값의 성질에 따라 E(Xn+1∣Fn)=E(Xn+εn∣Fn)=E(Xn∣Fn)+E(εn∣Fn)=Xn+E(εn∣Fn)=Xn+E(εn)=Xn \begin{align*} E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) =& E \left( X_{n} + \varepsilon_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) \\ =& E \left( X_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) + E \left( \varepsilon_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) \\ =& X_{n} + E \left( \varepsilon_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) \\ =& X_{n} + E ( \varepsilon_{n} ) \\ =& X_{n} \end{align*} 이므로 {(Xn,Fn)}\left\{ (X_{n}, \mathcal{F}_{n}) \right\} 는 마틴게일이 된다.

(2)

{Xn}n∈N\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 이 서로 독립이고 E(Xn)=0E(X_{n}) = 0 이고 Sn:=∑i=1nXi\displaystyle S_{n}:= \sum_{i =1}^{n} X_{i} 라고 하자. 그러면 E(Sn+1∣Fn)=Sn+E(Xn+1∣Fn)=Sn+E(Xn+1)=Sn+0 \begin{align*} E(S_{n+1} | \mathcal{F}_{n} ) =& S_{n} + E( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} ) \\ =& S_{n} + E( X_{n+1} ) \\ =& S_{n} + 0 \end{align*} 이므로 {(Sn,Fn)}\left\{ (S_{n}, \mathcal{F}_{n}) \right\} 는 마틴게일이 된다.

한편 마틴게일과 컨벡스 함수 ϕ\phi 가 주어지면 위와 같이 서브 마틴게일을 만들어낼 수 있다.

정리

마틴게일 {(Xn,Fn)}\left\{ (X_{n}, \mathcal{F}_{n}) \right\} 과 컨벡스 함수 ϕ:R→R\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R} 에 대해 (ϕ(Xn),Fn)( \phi (X_{n}) , \mathcal{F}_{n} ) 는 서브 마틴게일이다.

증명

조건부 옌센 부등식: 확률 공간 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) 와 서브 시그마 필드 G⊂F\mathcal{G} \subset \mathcal{F} 가 주어져있다고 하고 XX, 가 확률 변수라고 하자.컨벡스 함수 ϕ:R→R\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R} 와 ϕ(X)∈L1(Ω)\phi (X) \in \mathcal{L}^{1} ( \Omega ) 에 대해 ϕ(E(X∣G))≤E(ϕ(X)∣G) \phi \left( E \left( X | \mathcal{G} \right) \right) \le E \left( \phi (X) | \mathcal{G} \right)

조건부 옌센 부등식에 따라 E(ϕ(Xn+1)∣Fn)≥ϕ(E(Xn+1∣Fn))=ϕ(Xn) E \left( \phi (X_{n+1}) | \mathcal{F}_{n} \right) \ge \phi \left( E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) \right) = \phi ( X_{n} )

■

따름정리

이에 대한 따름정리로써 p≥1p \ge 1 에 대해 ϕ(x)=∣x∣p\phi (x) = | x |^{p} 와 같이 두면 {∣Xn∣p,Fn}\left\{ |X_{n}|^p , \mathcal{F}_{n} \right\} 는 항상 서브 마틴게일이 됨을 알 수 있다.

같이보기

여러가지 필트레이션

A1⊂A2⊂⋯⊂An⊂⋯ A_{1} \subset A_{2} \subset \cdots \subset A_{n} \subset \cdots 보편적으로 수학 전반에서는 위와 같이 형식적으로 네스티드 시퀀스nested Sequence를 이루는 구조를 가졌을 때 필트레이션filtration이라는 표현을 사용한다.