무한 공리

공리

$$ \exists U \left( \emptyset \in U \land \forall X ( X \in U \implies S(X) \in U) \right) $$ 공집합과 $X$ 를 원소로 가지면 $S(X)$ 도 원소로 가지는 집합 $U$ 가 존재한다.

집합 $X$ 에 대해 $S(X)$ 는 $S(X):= X \cup \left\{ X \right\}$ 와 같이 정의되는 집합이다.

설명

이것이 왜 무한 공리인지를 구구절절 설명하는 것보다 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 의 존재성 증명을 한 번 보는 게 낫다.

정리: 자연수 집합의 존재성

$\mathbb{N}$ 이 존재한다.

증명

전략: 폰 노이만이 제안한 구성법으로써, 자연수 자체를 집합과 대응시켜 자연수의 집합을 직접 구성한다. 이에 따라 $\mathbb{N}$ 은 존재함과 동시에 자연수의 성질 역시 즉각적으로 갖는다.

공집합 $\emptyset$ 과 그 $S(n)$ 에 대해서 다음을 정의하자. $$ 0 : = \emptyset \\ ( n + 1 ):= S(n) = n \cup \left\{ n \right\} $$ 그러면 $$ 1 = 0+1 = S ( 0 ) = \left\{ 0 \right\} \\ 2 = 1+1 = S ( 1 ) = \left\{ 0, \left\{ 0 \right\} \right\} = \left\{ 0, 1 \right\} \\ 3 = 2+1 = S ( 2 ) = \left\{ 0, \left\{ 0 \right\}, \left\{ 0, \left\{ 0 \right\} \right\} \right\} = \left\{ 0, 1, 2 \right\} \\ \vdots $$ 무한 공리에 의해 $\mathbb{N} = \left\{ 1, 2, 3, \cdots \right\}$ 은 다음의 성질을 만족시키며 존재한다. $$ n_{1} \in n_{2} \iff n_{1} < n_{2} \\ n_{1} \subset n_{2} \iff n_{1} \le n_{2} $$

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자연수가 무한히 많다는 주장은 어떻게 해서든 참이겠지만, 사실 이 우주의 누구도 무한히 많은 자연수를 본 적은 없다. 제 아무리 오래, 꾸준히, 많은 자연수를 찾아봤자 무한 집합이 존재한다는 것을 귀납적으로 입증하는 것은 불가능하다. 무한 공리는 이러한 무한을 설명하기 위해 도입되었으며, 우리의 직관상 이것을 거부할 이유는 전혀 없을 것이다.