📂집합론

공집합 공리

공리 ¹

$$ \exists X \forall x \left( \lnot \left( x \in X \right) \right) $$ 어떤 원소도 가지지 않는 집합 $X$ 가 존재하고, 이 집합 $X$ 를 공집합이라고 정의한다.

설명

공집합은 일반적으로 $\emptyset$ 과 같이 표기한다. 한편 공집합은 공집합은 원소의 개수가 $0$ 개인 집합으로도 볼 수 있는데, 이와 같이 원소의 개수로 정의할 수 있는 집합에는 다음과 같은 것들이 있다:

1. Singletone Set: 원소의 개수가 단 하나인 집합을 홑원소 집합이라 한다.
2. Finite Set: 집합의 원소의 개수가 $\mathbb{N}$ 에 속하면 유한 집합이라 한다.
3. Infinite Set: 공집합도 아니고 유한 집합도 아니면 무한 집합이라 한다.

여기서 유한 집합, 무한 집합의 정의는 다소 지저분하나, 후에 엄밀하게 재정의된다.

주의해야할 점으로는 홑원소 집합 $\left\{ x \right\}$ 는 어디까지나 집합이며, $x$ 는 $\left\{ x \right\}$ 의 원소로써 엄연히 다른 것으로 구분된다는 것이다. 더 나아가서, 실제 현대 수학에서는 $x := \left\{ x \right\}$ 와 같은 정의조차 허용하지 않는다.

공집합 공리와 공집합의 정의를 구분하는 것은 말 그대로 그 두가지가 다르기 때문이다. 공집합 자체는 사실 공집합 공리에 상관 없이 정의는 할 수 있다. 하지만 그것이 정말 존재하는지는 별개의 문제다. 공집합이라는 게 존재하는 것은 직관적으로 알고 있지만, 단지 정의가 그것을 보장하지는 못한다. 이는 해석학에서의 완비성 공리와 비슷하다.

공집합의 존재성이 당연하지 않은 이유는 집합의 정의를 생각해보면 이해가 될지도 모르겠다. 우리의 직관 또는 사고의 대상으로써 서로 뚜렷이 구분되는 객체의 모임을 집합이라 했고, 집합에 속한 객체를 원소라고 했다. 그러나 이 정의에 따르면 공집합은 ‘구분되는 개체’를 전혀 가지지 않아야하는데, 모일 객체가 없음에도 모임이 있다는 것은 분명히 이상하다. 그럼에도 불구하고 우리 인간은 ‘부재성의 존재’에 대해 너무나 잘 알고 있으므로, 이러한 공리를 추가해서라도 공집합을 다루려는 것이다.

한편 이러한 당연하지 않음을 이해하거나 공감하는 것과 상관 없이, 공집합의 존재성은 다른 공리에서 유도될 수가 있다. 공리는 적으면 적을수록 좋으므로 보통 관련 교재에서 공집합 공리는 생략되는 편이다.