임의의 함수의 절대값을 두 개의 음이 아닌 함수로 표현하는 방법
정리
기본
함수 $f : X \to \mathbb{R}$ 의 절대값 $|f|$ 는 $f$ 의 양의 부분 $f^{+}$ 와 음의 부분 $f^{-}$ 에 대해 다음과 같이 나타난다. $$ |f| = f^{+} + f^{-} $$
고급
함수 $g : X \to \mathbb{R}$ 은 거의 어디서나 $g \ge 0$ 이라고 하자.
- [1] 절대값 내부: $$ f^{+} = |f^{+}| \\ f^{-} = |f^{-}| \\ |f| = |f^{+}| + |f^{-}| $$
- [2] 절대값 외부: $$ |f|^{-} = 0 \\ |f|^{+} = |f| \\ |f| = |f|^{+} + |f|^{-} $$
- [3] 부호의 출입: $$ |f^{+}| + |f^{-}| = |f|^{+} + |f|^{-} \\ |g^{-}| = |g|^{-} = 0 \qquad \text{ a.e.} \\ |g^{+}| = |g|^{+} = g \qquad \text{ a.e.} $$
설명
함수의 절대값 표현은 양의 부분과 음의 부분의 정의에 따라 곧바로 유도되며, 특히 실해석에서 쓰일 일이 많다. 다음의 유용한 성질들을 자유자재로 사용할 수 있게 되도록 하자.
절대값 내외부, 부호 출입 등은 보기 편하고 이해하기 좋으라고 달아놓은 말일 뿐 공식적인 명명은 따로 없다. 이 성질들은 역시 양의 부분과 음의 부분, 절대값의 정의에 따라 위에서 아래로 바로바로 증명된다.