📂집합론

명제함수의 한정규칙

정의 ¹

전체집합 $U$ 의 명제함수 $P(x)$ 가 주어져있다고 하자.

1. Universal Quantifier: ‘모든 $x \in U$ 에 대하여’를 $\forall x$ 와 같이 쓰고 전칭기호라고 한다.
2. Existential Quantifier: ‘적어도 하나의 $x \in U$ 가 존재해서’를 $\exists x$ 와 같이 쓰고 존재기호라고 한다.

설명

가령 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 에 대해 논리식 $p(x)$ 가 ‘$x$ 는 $3$ 의 배수다’라면, 위의 기호와 합동식을 사용해서 다음과 같이 축약된 수식으로 나타낼 수 있다:

• $\forall x \in \mathbb{N} ( x \equiv 0 \pmod{3} ) \iff$ ‘모든 자연수 $x$ 는 $3$ 의 배수다’
• $\exists x \in \mathbb{N} ( x \equiv 0 \pmod{3} ) \iff$ ‘$3$ 의 배수인 자연수 $x$ 가 존재한다’

위는 거짓이고, 아래는 참이다. 보다시피 기호가 편리한 것과 우리말로 표현하는 것은 전혀 별개다. 원서로 공부하더라도 스스로가 한국어로 말할 때 어떻게 해야 자연스러운지를 신경쓰고 연습해두는 게 좋다.

영어로 배워요

수학과는 물론, 해석학이 필요한 전공이라면 극한의 복잡한 정의 때문에 당황해본 적이 있을 것이다. $$ \lim_{n \to \infty} x_{n} = a \iff \forall \varepsilon > 0 , \exists N \in \mathbb{N} : n \ge N \implies | x_{n} - a | < \varepsilon $$ 여기서 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ 를

모든 양수 $\varepsilon$ 에 대해서 어떤 자연수 $N$ 이 존재하는데 그 $N$ 은 $n \ge N$ 이 $| x_{n} - a | < \varepsilon$ 을 함의하게끔 정의된 것이다.

라고 설명하고 싶은 사람은 없을 것이다. 물론 순서대로 맞는 말이긴하겠지만, 말하는 사람도 헷갈리고 듣는 사람도 전달이 알아듣기 힘드므로 맞고 틀리고 이전에 ‘말’로써 자격이 부족하기 때문이다.

같은 표현을 영어로 하면

For any positive $\varepsilon$, there exists natural number $N$ such that $n \ge N $ implies $|x_{n} - a| < \varepsilon$

이 된다. 그대로 읽어도 위의 정의 그대로인 이유는 애초에 이러한 표현들이 영어에 맞게 고안되었기 때문이다. 과학의 언어는 수학이지만, 수학책의 언어는 영어다.

요지는 억지로 영어 번역에 맞춰서 읽으려고 하는 것보다는 본질적인 개념을 머리 속으로 집어 넣어 우리 말로도 쉽게 읽을 정도로 숙달되라는 것이다.

부정규칙

$$ \lnot \forall x ( p(x) ) \iff \exists x (\lnot p(x) ) \\ \lnot \exists x ( p(x) ) \iff \forall x ( \lnot p(x) ) $$

또 골치 아파지는 정리로써 위의 부정규칙이 있다. 물론 수학이 보통 그러하듯, 빨리 익숙해질수록 좋다.

유일성

기호 $\exists !$ 는 보통 유일하게 존재함을 의미한다.