측도론으로 정의되는 확률 변수의 조건부 기대값
정의
확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 이 주어져 있다고 하자.
$\mathcal{G}$ 가 $\mathcal{F}$ 의 서브 시그마 필드고 확률 변수 $X \in \mathcal{L}^{1} ( \Omega )$ 는 적분 가능하다. 모든 $A \in \mathcal{G}$ 에 대해 $$ \int_{A} Y d P = \int_{A} X d P $$ 를 만족하는 $\mathcal{G}$-가측 확률 변수 $Y$ 가 유일하게 존재하면 $Y := E ( X | \mathcal{G} )$ 를 $\mathcal{G}$ 에 대한 $X$ 의 조건부 기대값이라고 정의한다.
- 아직 측도론을 접하지 못했다면 확률 공간이라는 말은 무시해도 좋다고 말하고 싶지만, 사실 측도론을 전혀 모르면서 본 포스트의 내용을 제대로 이해하는 것은 거의 불가능하다.
- $\mathcal{G}$ 가 $\mathcal{F}$ 의 서브 시그마 필드라는 것은 둘 다 $\Omega$ 의 시그마 필드이되, $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ 임을 의미한다. $Y$ 가 $\mathcal{G}$-가측 함수라는 것은 모든 보렐 셋 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ 에 대해 $Y^{-1} (B) \in \mathcal{G}$ 라는 의미다.
설명
수식적인 정의에서 $\mathcal{G}$ 는 기존의 확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 만큼 막막하게 넓지 않고 조금의 정보가 더 주어진 확률 공간 $( \Omega , \mathcal{G} , P)$ 이 된다. 또한 $$ \int_{A} X d P = \int_{A} Y d P = \int_{A} E ( X | \mathcal{G} ) d P $$ 라는 것은 그 작아진 공간 안에서는 그 계산이 같다는 뜻이므로 확률 $P$ 를 $\mathcal{F}$ 에서 $\mathcal{G}$ 로 잘 끌어내리고 그 성질을 유지했다고 말할 수 있다.
또한 정의의 형식에서 $E ( X | \mathcal{G} )$ 는 $\mathcal{G}$-가측 확률 변수로써 존재하므로, 별 말이 없어도 기대값은 확률변수며 주어진 시그마 필드에 대해 가측이라는 것을 당연하게 받아들일 수 있어야한다.
직관적으로 받아들이기 어려운 정의는 아니나, 그 표현이 다소 낯설 것이다. 확률 변수 $X$ 에 대해 $\sigma (X) := \left\{ X^{-1} (B) : B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$ 은 $X$ 로써 생성되는 $\Omega$ 의 가장 작은 시그마 필드 $\sigma (X) \subset \mathcal{F}$ 로, 다음과 같이 익숙한 표현에 쓰인다. $$ E(Y|X) = E \left( Y | \sigma (X) \right) $$ 물론 이렇게 쓸 수 있기는 하지만, 측도론이 도입된 확률론을 계속 공부할 생각이라면 이쪽에 익숙해지는 게 훨씬 편하다. 생각해보면 $E(Y|X)$ 는 개념만 직관적이었지 수식을 다루거나 직접 계산할 땐 너무나 골치 아픈 표기법이기도 했다. 미련 없이 떠나보내도록 하자.
한편 조건부 기대값의 존재성은 라돈-니코딤 정리에 의해 보장된다. 정리를 이해하는 것이 관건일 뿐 증명 자체는 어렵지 않다.
증명
Case 1. $X \ge 0$
$$ P_{\mathcal{G}}(A) := \int_{A} X d P $$ 모든 $A \in \mathcal{G}$ 에 대해 $P_{\mathcal{G}}$ 를 위와 같이 정의하면 $P_{\mathcal{G}}$ 는 $\mathcal{G}$ 상에서의 측도가 되고, $P_{G} \ll P$이다.
라돈-니코딤 정리가측 공간 $( \Omega , \mathcal{F} )$ 의 두 시그마 유한 측도 $\nu$, $\mu$ 가 $\nu \ll \mu$ 를 만족하면 모든 $A \in \mathcal{F}$ 에 대해 $\mu$-거의 어디서나 $h \ge 0$ 이고 $$ \nu (A) = \int_{A} h d \mu $$ 을 만족하는 $\mathcal{F}$-가측 함수 $f$ 가 주어진 $\mu$ 에 따라 유일하게 존재한다.
정리에 따라 $\nu = P_{\mathcal{G}}$, $\mu = P$ 라고 두면 모든 $A \in \mathcal{G}$ 에 대해 $$ P_{\mathcal{G}} (A) = \int_{A} Y d P $$ 를 만족하는 $Y \ge 0$ 가 유일하게 존재한다. 처음 $P_{\mathcal{G}}$ 의 정의에 따라 $Y$ 는 $\mathcal{G}$ 에 대한 $X$ 의 조건부 기대값이 된다.
Case 2. 일반적인 경우
$X$ 를 두 개의 $X^{+} , X^{-} \ge 0$ 으로 분해해서 **Case 1.**과 같은 방법으로 쓰면 된다.
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