📂측도론

라돈-니코딤 정리 증명

정리 ¹

가측 공간 $( \Omega , \mathcal{F} )$ 의 두 시그마 유한 측도 $\nu$, $\mu$ 가 $\nu \ll \mu$ 를 만족하면 모든 $A \in \mathcal{F}$ 에 대해 $\mu$-거의 어디서나 $h \ge 0$ 이고 $$\nu (A) = \int_{A} h d \mu$$ 을 만족하는 $\mathcal{F}$-가측 함수 $h$ 가 주어진 $\mu$ 에 따라 유일하게 존재한다.

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• $h$ 가 $\mu$-거의 어디서나라는 것은 거의 어디서나와 비슷하게 $\mu \left( h^{-1} ( -\infty , 0 ) \right) = 0$ 이라는 뜻이다. $\nu (A) \ll \mu (A)$ 는 $\nu$ 가 $\mu$ 에 대해 절대 연속임을 의미하며, 모든 $A \in \mathcal{F}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$\mu (A) =0 \implies \nu (A) =0$$

성명

스테이트먼트를 읽어보면 르벡 적분의 성질에 따라 $\displaystyle \nu (A) = \int_{A} \mathbb{1}_{A} d \nu$ 인데, 또 다른 측도 $\mu$ 를 가져와도 $\nu (A) = \int_{A} h d \mu$ 를 만족시키도록 중개하는 $h$ 가 유일하게 존재하며 구체적으로 무엇인지도 찾고 있다. 이 정리의 $h$ 를 라돈-니코딤 도함수라고 부른다. 라돈-니코딤 정리는 당장 확률론에서 조건부 기대값의 존재성을 보장하며, 그 중요성이 엄청나다고 단언할 수 있다.

증명

우선은 $\mu ( \Omega ) = \nu ( \Omega ) < \infty$, 즉 $\mu$ 와 $\nu$ 가 유한 측도라고 가정하자.

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Part 1. $\displaystyle \int_{\Omega} g d \mu = \int_{\Omega} g h_{\mu} d \varphi$

$( \Omega , \mathcal{F} )$ 의 두 유한 측도 $\mu$, $\varphi$ 가 $0 \le \mu \le \varphi$ 를 만족시킨다고 하자. 임의의 $\mathcal{F}$-메져러블 펑션 $g \ge 0$ 에 대해 $\displaystyle \int_{\Omega} g d \mu$ 을 계산하기 위해 다음과 같이 $n$ 개의 유한한 함숫값을 갖고 $g$ 와의 메트릭이 가장 작아지도록 하는 심플 펑션 $g_{n}$ 을 다음과 같이 정의하자. $$g_{n} := \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mathbb{1}_{A_{k}} = \argmin | g - G |$$ 여기서 $\mathcal{Q}_{n} := \left\{ A_{k} \right\}_{k=1}^{n}$ 는 모든 $n$ 에 대해 $\Omega$ 의 파티션이 되며, $\mathcal{Q}_{n+1}$ 은 $\mathcal{Q}_{n}$ 의 리파인먼트라고 하자. 그러면 정의에 따라 $g_{n} \nearrow g$ 이면서 $$\begin{align*} \int_{\Omega} g_{n} d \mu =& \int_{\Omega} \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mathbb{1}_{A_{k}} d \mu \\ =& \sum_{k=1}^{n} a_{k} \int_{A_{k}} \mathbb{1}_{A_{k}} d \mu \\ =& \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mu (A_{k}) \\ =& \sum_{k=1}^{n} a_{k} {{ \mu (A_{k}) } \over { \varphi (A_{k}) }} \varphi (A_{k}) \\ =& \sum_{k=1}^{n} a_{k} {{ \mu (A_{k}) } \over { \varphi (A_{k}) }} \int_{A_{k}} \mathbb{1}_{A_{k}} d \varphi \\ =& \sum_{k=1}^{n} \int_{A_{k}} a_{k} \mathbb{1}_{A_{k}} {{ \mu (A_{k}) } \over { \varphi (A_{k}) }} d \varphi \\ =& \int_{\Omega} g_{n} {{ \mu } \over { \varphi }} d \varphi \end{align*}$$

단조 수렴 정리: 함숫값이 음이 아닌 가측 함수의 수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 이 $f_{n} \nearrow f$ 을 만족한다고 하자. 그러면 $$\lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm$$

라돈-니코딤 도함수: 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\mathcal{Q}_{n+1}$ 이 $\mathcal{Q}_{n}$ 의 리파인먼트면 $$\lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}} = \lim_{n \to \infty} {{\nu} \over {\mu}} = {{d \nu } \over {d \mu }}$$

그러면 단조 수렴 정리와 라돈-니코딤 도함수의 성질에 따라 $$\begin{align*} \int_{\Omega} g d \mu =& \lim_{n \to \infty} \int_{\Omega} g_{n} d \mu \\ =& \lim_{n \to \infty} \int_{\Omega} g_{n} {{ \mu } \over { \varphi }} d \varphi \\ =& \int_{\Omega} g {{d \mu } \over {d \varphi }} d \varphi \end{align*}$$

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Part 2. $h$ 의 존재성

$\varphi = \nu + \mu$ 이라고 하면 당연히 $0 \le \nu \le \varphi$ 고 $0 \le \mu \le \varphi$ 이므로 $\varphi$ 가 $\nu$, $\mu$ 보다 크다는 Part 1의 조건을 만족하며, 라돈-니코딤 도함수 $\displaystyle h_{\mu} = {{ d \mu } \over { d \varphi }}$, $\displaystyle h_{\nu} = {{ d \nu } \over { d \varphi }}$ 를 잘 정의할 수 있다. $\mathcal{F}$ 에서 두 집합 $$\begin{align*} F &:= \left\{ \omega \in \Omega : h_{\mu} (\omega) > 0 \right\} \\ G &:= \left\{ \omega \in \Omega : h_{\mu} (\omega) = 0 \right\} \end{align*}$$ 을 생각해보자. $F$ 의 부분집합 $A \subset F$ 에 대해 $\displaystyle h := \mathbb{1}_{A} {{ h_{\nu} } \over { h_{\mu} }}$ 이라고 정의하면 Part 1.에 따라 $$\begin{align*} \nu (A) =& \int_{A} \mathbb{1}_{A} d \nu \\ =& \int_{A} \mathbb{1}_{A} {{ d \nu } \over { d \varphi }} d \varphi \\ =& \int_{A} \mathbb{1}_{A} h_{\nu} {{ h_{\mu} } \over { h_{\mu} }} d \varphi \\ =& \int_{A} \mathbb{1}_{A} {{ h_{\nu} } \over { h_{\mu} }} h_{\mu} d \varphi \\ =& \int_{A} h h_{\mu} d \varphi \\ =& \int_{A} h d \mu \end{align*}$$ 이고, $G$ 의 정의에 따라 $\displaystyle \mu (G) = \int_{G} h_{\mu} d \varphi = 0$ 이면 전제에서 $\nu \ll \mu$ 이므로 $\mu (G) = 0 \implies \nu (G) = 0$ 이다. 따라서 $h$ 는 $\nu (A) = \int_{A} h d \mu$ 를 만족시킨다.

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Part 3. $h$ 의 유일성

$$\int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}$$

$A \in \mathcal{F}$ 에 대해 $\nu (A) = \int_{A} f d \mu$ 를 만족하는 $f = g$, $f = h$ 가 존재한다고 하면 $$\begin{align*} 0 =& \nu (A) - \nu (A) \\ =& \int_{A} h d \mu - \int_{A} g d \mu \\ =& \int_{A} (h - g ) d \mu \end{align*}$$ 이므로 거의 어디서나 $h = g$ 이다.

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Part 4. 시그마 유한 측도로의 일반화

이제 $\mu$ 와 $\nu$ 가 시그마 유한 측도라고 가정해보자. $$A_{k} \in \mathcal{F} \\ \nu (A_{k}) < \infty \\ \mu (A_{k}) < \infty \\ i \ne j \implies A_{i} \cap A_{j} = \emptyset \\ X = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_{k}$$ 위의 조건들을 만족시키는 집합의 시퀀스 $\left\{ A_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 와 $E \in \mathcal{F}$ 을 픽스하고 이에 대해 $E \cap A_{k}$ 상의 유한 측도들을 새로이 정의하자. $$\nu_{k} (E) := \nu ( E \cap A_{k} ) \\ \mu_{k} (E) := \mu ( E \cap A_{k} )$$ 그러면 Part 1~3에 따라 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 다음을 만족시키는 $h_{k}$ 들이 존재한다. $$\nu_{k} (E) = \int_{E} h_{k} d \mu_{k}$$ $\nu_{k}$, $\mu_{k}$ 의 정의에 따라 $\nu_{k} \left( A_{k}^{c} \right) = \mu_{k} \left( A_{k}^{c} \right) = 0$ 이므로 $\displaystyle \nu_{k} (A_{k}^{c}) - \int_{A_{k}^{c}} h_{k} d \mu_{k} = 0 - 0$ 이 성립하며, 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $h_{k} (A_{k}^{c}) = 0$ 이 보장된다. 이에 따라 $\displaystyle h := \sum_{k \in \mathbb{N}} h_{k}$ 를 정의하면 $$\begin{align*} \nu (E) =& \sum_{k \in \mathbb{N}} \nu_{k} (E) \\ =& \sum_{k \in \mathbb{N}} \int_{E} h_{k} d \mu_{k} \\ =& \int_{E} h d \mu \end{align*}$$

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