📂추상대수

좌우간약율 증명

정리 ¹

군 $\left<G, \ast \right>$ 의 원소 $a,b,c$ 에 대해, $$ a \ast b = a \ast c \implies b = c \\ b \ast a = c \ast a \implies b=c $$

설명

추상대수학을 접하면 이제까지 배워왔던 걸 새로운 언어로 배우게 된다. 아마 좌우간약율은 그 중에서도 가장 먼저 접하게되는 정리일 것이다. 우리는 보통 그냥 양변에서 같은 걸 나눈다(역원을 곱한다)는 식으로만 말한다. 간약율은 일본에서 쓰는 표현으로, 굳이 어떤 명칭으로 기억하고 싶다면 영어쪽 표현을 알아두도록 하자.

증명

$a \ast b = a \ast c$ 라고 하면, $a$ 는 $G$ 의 원소기 때문에 좌역원 $a '$ 이 존재한다. 좌역원 $a '$ 를 양변에 곱하면 $$ a’ \ast\ (a \ast b) = a’ \ast\ (a \ast c) $$ 결합법칙이 성립하므로 $$ (a’ \ast\ a) \ast b = (a’ \ast\ a) \ast c $$ 역원의 정의에 의해 $G$ 의 항등원을 $e$ 라고 하면 $(a’ \ast\ a) = e$ 이므로 $$ e \ast b = e \ast c $$ 항등원의 정의에 의해 $$ b = c $$ 우측의 경우도 위와 같은 방법으로 증명하면 된다.

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