📂측도론

라돈-니코딤 도함수

정리 ¹

가측 공간 $( \Omega , \mathcal{F} )$ 가 주어져 있다고 하자. 측도 $\mu$, $\nu$ 가 $\mu ( \Omega ) = 1$ 과 모든 $F \in \mathcal{F}$ 에 대해 $0 \le \nu (F) \le \mu (F)$ 를 만족하면 모든 $F \in \mathcal{F}$ 에 대해 $$ \nu (F) = \int_{F} h d \mu $$ 를 만족하면서 $h \ge 0$ 인 $\mathcal{F}$-가측 함수 $h : \Omega \to \mathbb{R}$ 가 존재한다. 이 $h$ 를 $\displaystyle h := {{d \nu } \over {d \mu }}$ 와 같이 나타내고 $\mu$ 에 대한 $\nu$ 의 라돈-니코딤 도함수라 한다.

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• 어떤 함수 $f$ 가 $\mathcal{F}$-가측 함수 라는 것은 모든 보렐 셋 $B \in \mathcal{B} ( \Omega )$ 에 대해 $f^{-1} (B) \in \mathcal{F}$ 이라는 것이다.

설명

정리의 전제에서 $\mu ( \Omega ) = 1$ 이라는 조건에 따라 $\Omega$ 는 확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , \mu )$ 이 될 수 있다.

라돈-나코딤 도함수의 명명은 상당히 직관적이라고 할 수 있는데, 정확한 논증은 잠시 제쳐놓고 생겨먹은대로 다뤄보면 다음과 같이 전개될 수 있다. 기초 해석학에서의 미분과는 달리 형식에 개념을 끼워맞춘 것이다. $$ \begin{align*} \int_{F} h d \mu =& \int_{F} {{d \nu } \over {d \mu }} d \mu \\ =& \int_{F} d \nu \\ =& \nu ( F) \end{align*} $$

라돈-나코딤 정리는 몇가지 조건이 더 주어져있을 때 이러한 라돈-니코딤 도함수가 유일하게 존재함을 보장한다.

증명

Part 1. $\displaystyle h_{\mathcal{P}} = {{\nu} \over {\mu}}$

파티션 $ \mathcal{P} := \left\{ A_{1} , \cdots , A_{k} \right\}$ 과 $\omega \in A_{i}$ 에 대해 $h_{\mathcal{P}} : \Omega \to \mathbb{R}$ 을 다음과 같이 정의하자. $$ h_{\mathcal{P}} ( \omega ) = \begin{cases} \displaystyle {{\nu (A_{i} ) } \over {\mu (A_{i} ) }} &, \mu ( A_{i} ) > 0 \\ 0 &, \text{otherwise} \end{cases} $$ $A_{i}$ 가 정해졌다면 정의에 따라 $\omega \in A_{i}$ 가 어떻게 되든 $A_{i}$ 에서는 상수 함수 $h_{\mathcal{P}} ( \omega ) = c_{i}$ 와 같이 취급할 수 있다. 이에 따라 $$ \begin{align*} \int_{A_{i}} h_{\mathcal{P}} d \mu =& \int_{A_{i}} {{\nu (A_{i} ) } \over {\mu (A_{i} ) }} d \mu \\ =& \nu (A_{i} ) {{1 } \over {\mu (A_{i} ) }} \int_{A_{i}} d \mu \\ =& \nu (A_{i} ) {{1 } \over {\mu (A_{i} ) }} \mu ( A_{i} ) \\ =& \nu (A_{i} ) \end{align*} $$ 이 계산된다. 이에 대해 다음과 같은 보조 정리들을 증명하자.

• Part 1-1.
  $\Omega$ 의 모든 $\mathcal{P}$ 과 모든 $\omega \in \Omega$ 에 대해 $0 \le h_{\mathcal{P}} \le 1$모든 $F \in \mathcal{F}$ 에 대해 $0 \le \nu (F) \le \mu (F)$ 이므로 $$\displaystyle 0 \le h_{\mathcal{P}} = {{\nu (F)} \over {\mu (F)}} \le 1$$
• Part 1-2.
  $$A = \bigsqcup_{j \in J} A_{j} \implies \nu (A) = \int_{A} h_{\mathcal{P}} d \mu$$ $\bigsqcup$ 는 분리합집합이고 $J \subset \left\{ 1 , \cdots, k \right\}$ 는 인덱스의 집합이다. 측도의 성질에 따라 $$ \begin{align*} \nu (A) =& \sum_{j \in J} \nu ( A_{j} ) \\ =& \sum_{j \in J} \int_{A_{j}} h_{\mathcal{P}} d \mu \\ =& \int_{A} h_{\mathcal{P}} d \mu \end{align*} $$ 한편 시그마 필드의 정의에서 $\Omega \in \mathcal{F}$ 이므로 당연히 $\displaystyle \nu ( \Omega ) = \int_{ \Omega } h_{\mathcal{P}} d \mu$ 가 성립한다.
• Part 1-3.
  • Part 1-3-1. 모든 $A \in \mathcal{P}_{1}$ 에 대해 $\displaystyle \int_{A} h_{1} d \mu = \int_{A} h_{2} d \mu$ 이다.
    $\mathcal{P}_{2}$ 가 $\mathcal{P}_{1}$ 의 리파인먼트라고 하고 편의상 $h_{n} := h_{\mathcal{P}_{n}}$ 과 같이 나타내도록 하자. 리파인먼트의 정의에 따라 모든 $A \in \mathcal{P}_{1}$ 에 대해 $\displaystyle A = \bigsqcup_{j \in J} B_{j}$ 를 만족시키는 $B_{j} \in \mathcal{P}_{2}$ 들이 존재한다. 따라서 $$ \begin{align*} \int_{A} h_{1} d \mu =& \nu (A) \\ =& \sum_{j \in J} \nu ( B_{j} ) \\ =& \sum_{j \in J} \int_{B_{j}} h_{2} d \mu \\ =& \int_{A} h_{2} d \mu \end{align*} $$
  • Part 1-3-2. 모든 $A \in \mathcal{P}_{1}$ 에 대해 $\displaystyle \int_{A} h_{1} h_{2} d \mu = \int_{A} h_{1}^{2} d \mu$ 이다. $$\begin{align*} \int_{A} h_{1} h_{2} d \mu =& {{\nu (A ) } \over {\mu (A ) }} \int_{A} h_{2} d \mu \\ =& {{\nu (A ) } \over {\mu (A ) }} \nu (A ) \\ =& \int_{A} \left[ {{\nu (A ) } \over {\mu (A ) }} \right]^2 d \mu \\ =& \int_{A} h_{1}^{2} d \mu \end{align*} $$
• Part 1-4.
  • Part 1-4-1. $\displaystyle \int_{A} ( h_{2} - h_{1} )^2 d \mu = \int_{A} \left[ h_{2}^{2} - h_{1}^{2} \right] d \mu$
    Part 1-3-2에 따라 모든 $A \in \mathcal{P}_{1}$ 에 대해 $\displaystyle \int_{A} h_{1} ( h_{2} - h_{1} ) d \mu = 0$ 이고, Part 1-2에 따라 $\displaystyle \int_{ \Omega } h_{1} ( h_{2} - h_{1} ) d \mu = 0$ 역시 성립한다. 그러면 $$ \begin{align*} \int_{A} ( h_{2} - h_{1} )^2 d \mu =& \int_{A} \left( h_{2}^{2} - 2 h_{2} h_{1} + h_{1}^{2} \right) d \mu \\ =& \int_{A} \left[ h_{2}^{2} - 2 h_{1} (h_{2} - h_{1}) - h_{1}^{2} \right] d \mu \\ =& \int_{A} \left[ h_{2}^{2} - h_{1}^{2} \right] d \mu \end{align*} $$
  • Part 1-4-2. $\displaystyle \int_{\Omega} h_{1}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{2}^{2} d \mu$
    $$\begin{align*} \int_{\Omega} h_{2}^{2} d \mu =& \int_{\Omega} h_{1}^{2} d \mu + \int_{\Omega} (h_{2} - h_{1})^{2} d \mu \\ \ge& \int_{\Omega} h_{1}^{2} d \mu \end{align*} $$

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Part 2. $\displaystyle h := \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}}$

Part 1-4-2에서 $\mathcal{P}$ 의 리파인먼트 $\mathcal{P} ' $ 에 대해 $\displaystyle \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{P} ' }^{2} d \mu$ 이 성립함을 확인했다. 또한 Part 1-1에서 $0 \le h_{\mathcal{P}} \le 1$ 이고 가정에서 $\mu ( \Omega ) = 1$ 이었으므로 $c := \sup \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}}^{2} d \mu$ 는 $0$ 과 $1$ 사이에 존재한다. [ NOTE: 사실 $\mu ( \Omega ) \ne 1$ 이라도 $\mu ' := \mu / \mu ( \Omega)$ 와 같이 바꿔서 쓰면 된다. ] 이제 주어진 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\displaystyle \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}_{n}}^{2} d \mu > c - {{1} \over {4^{n}}}$ 을 만족하도록하는 파티션 $\mathcal{P}_{n}$ 과 $\left\{ \mathcal{P}_{i} \right\}_{i=1}^{n}$ 모두의 리파인먼트가 되도록 하는 파티션 $\mathcal{Q}_{n}$ 를 생각해보자. 그러면 당연히 $\mathcal{Q}_{n+1}$ 은 $\mathcal{Q}_{n}$ 의 리파인먼트가 되고, 다음의 부등식을 만족시킨다. $$ c - {{1} \over {4^{n}}} \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}_{n}}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{Q}_{n}}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{Q}_{n+1}}^{2} d \mu \le c $$ Part 1-4-1에 따라 제곱 $^2$ 이 괄호 속으로 들어갈 수 있으므로 $$ \int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right)^{2} d \mu = \int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}}^{2} - h_{\mathcal{Q}_{n}}^{2} \right) d \mu < {{1} \over {4^{n}}} $$

코시-슈바르츠 부등식: $f,g \in \mathcal{L}^{2} (E)$ 면 $fg \in L^{1}(E)$ 이고 $$ \left\| \int_{E} f \overline{g} dm \right\| \le \left\| f g \right\|_{1} \le \left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2} $$

코시-슈바르츠 부등식에서 $f = | h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} |$, $g = 1$ 이라고 두면 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$ \begin{align*} \int_{\Omega} \left| h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right| d \mu \le & \sqrt{ \int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right)^{2} d \mu } \sqrt{ \int_{\Omega} 1 d \mu } \\ =& \sqrt{\int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}}^{2} - h_{\mathcal{Q}_{n}}^{2} \right) d \mu} \sqrt{ \mu ( \Omega ) } \\ <& {{1} \over {2^{n}}} \cdot 1 \end{align*} $$

레비의 정리: $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int |f_{k}| dm < \infty$ 면 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x)$ 는 거의 어디에서나 수렴하고 $$ \int \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} dm = \sum_{k=1}^{\infty} \int f_{k} dm $$

$\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} \int_{\Omega} \left| h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right| d \mu < \infty$ 이므로 레비의 정리에 따라 $$ \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}} - h_{\mathcal{Q}_{1}} $$ 은 $\mu$ 에 대해 거의 어디서나 수렴한다. 이제 $h$ 를 다음과 같이 정의하자. $$ h := h_{\mathcal{Q}_{1}} + \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}} $$

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Part 3. $\displaystyle \nu (F) = \int_{F} h d \mu$

$h$ 의 정의에 따라 $0 \le h \le 1$ 는 $\mathcal{F}$-메져러블이다. 이제 모든 $F \in \mathcal{F}$ 에 대해 $\displaystyle \nu (F) = \int_{F} h d \mu $ 임을 보이면 된다. $F \in \mathcal{F}$ 하나를 픽스하고 $\mathcal{R}_{n}$ 를 $\mathcal{Q}_{n}$ 과 $\left\{ F , F^{c} \right\}$ 의 공통된 리파인먼트 파티션으로 정의하자. 그러면 Part 1-2에서 보인 $\displaystyle A = \bigsqcup_{j \in J} A_{j} \implies \nu (A) = \int_{A} h_{\mathcal{P}} d \mu$ 에 따라 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$ \begin{align*} \nu (F) =& \int_{F} h_{ \mathcal{R}_{n} } d \mu \\ =& \int_{F} ( h_{ \mathcal{R}_{n} } - h_{ \mathcal{Q}_{n} } )d \mu + \int_{F} h_{ \mathcal{Q}_{n} } d \mu \end{align*} $$ 이 성립한다. 한편 $\mathcal{R}_{n}$ 에 대해 Part 2에서와 마찬가지로 코시-슈바르츠 부등식을 사용하면 $\displaystyle \left| \int_{\Omega} h_{\mathcal{R}_{n}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} d \mu \right| < {{1} \over {2^{n}}}$ 을 얻을 수 있으므로 $$ \nu (F) =0 + \lim_{n \to \infty} \int_{F} h_{ \mathcal{Q}_{n} } d \mu $$

지배 수렴 정리: 가측집합 $E \in \mathcal{M}$ 와 $g \in \mathcal{L}^{1} (E)$ 에 대해 가측함수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 이 $E$ 의 거의 어디서나 $|f_{n}| \le g$ 를 만족한다고 하자. 만약 $E$ 의 거의 어디서나 $\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_{n}$ 이면, $f \in \mathcal{L}^{1}(E)$ 그리고 $$ \lim_{ n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) dm = \int_{E} f dm $$

모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $0 \le h_{\mathcal{Q}_{n}} \le 1$ 이고 Part 2에서 $h$ 가 $\displaystyle h := \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}}$ 와 같이 정의되었으므로, 지배 수렴 정리에 따라 $$ \begin{align*} \nu (F) =& \lim_{n \to \infty} \int_{F} h_{ \mathcal{Q}_{n} } d \mu \\ =& \int_{F} h d \mu \end{align*} $$

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한편 위 증명의 Part 1~2에서 위와 같은 따름 정리를 얻는다.

따름정리

모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\mathcal{Q}_{n+1}$ 이 $\mathcal{Q}_{n}$ 의 리파인먼트면 $$ \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}} = \lim_{n \to \infty} {{\nu} \over {\mu}} = {{d \nu } \over {d \mu }} $$