📂추상대수

군에서의 항등원과 역원의 유일성 증명

정리 ¹

군 $\left<G, \ast \right>$ 에 대해, $G$ 의 모든 원소 $x$ 에 대해 $e \ast x = x \ast e = x$ 를 만족하는 항등원 $e$ 는 유일하다. $G$ 의 어떤 원소 $a$ 에 대해 $a \ast {a’} = {a’} \ast a = e$ 를 만족시키는 역원 $a '$ 는 $a$ 에 대해 유일하다.

설명

다들 당연하게 생각하고 넘어가지만 사실 군의 정의에서는 이들의 존재성만 언급될 뿐이다. 이러한 원소들이 유일하게 존재하는 것은 증명이 필요하다.

증명

전략: 증명방법은 유일성을 증명할 때 늘 그렇듯 귀류법이 쓰인다.

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Part 1. 항등원

항등원이 $e$ 말고도 $e'$가 존재한다고 가정해보자. 일단 $e$ 는 항등원이기 때문에 $$e \ast\ e' = e' \ast\ e = e'$$ 이 성립한다. 한편, $e'$ 역시 항등원이기 때문에 $$e' \ast\ e = e \ast\ e' = e$$ 이 성립한다. 즉 $e = e'$ 이므로 가정 $e \ne e'$ 과 모순이다.

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Part 2. 역원

역원 역시 $a$ 의 역원 $a '$ 과 다른 새로운 역원 $a’’$ 이 존재한다고 가정해보자. 그러면 $a’ \ast\ a = e$ 이고 $a’’ \ast\ a = e$ 이므로 $a’ \ast\ a = a’’ \ast\ a$ 이 성립한다.

좌우간약률: 군 $\left<G, \ast \right>$ 의 원소 $a,b,c$ 에 대해, $$a \ast b = a \ast c \implies b = c \\ b \ast a = c \ast a \implies b=c$$

간약률에 의해 $a’ \ast\ a = a’’ \ast\ a$ 면 $a’ = a’’$ 이다.

이는 가정 $a’ \ne a’’$ 과 모순이다.

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