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콘 조건 📂소볼레프공간

콘 조건

정의1

ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^{n}열린 집합이라고 하자. 만약에 어떤 유한 콘이 존재해서 각각의 xΩx \in \Omega에 대해서 xx를 꼭짓점으로 가지는 유한 콘 CxΩC_{x} \subset \Omega가 존재하면 Ω\Omega가 콘 조건cone condition을 만족한다고 한다.

설명

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모든 xΩx\in \Omega에 대해서 위 그림과 같이 CxΩC_{x} \in \Omega가 있다면 Ω\Omega는 콘 조건을 만족한다. 만약 Ω\Omega가 다음 그림과 같이 뾰족한 부분을 포함하는 꼴이라면 콘 조건을 만족시킬 수 없다.

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위와 같이 다이아몬드 문양처럼 생긴 Ω\Omega는 적어도 4개의 꼭짓점에서는 조건을 만족하지 못한다. 각도를 잘 살펴보면 콘의 크기에 상관없이 절대 CxC_{x}Ω\Omega에 포함될 수 없다는 것을 알 수 있다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p82 ↩︎