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아이젠슈타인 소수 정리 증명 📂정수론

아이젠슈타인 소수 정리 증명

정리

아이젠슈타인 링의 이리듀서블 엘리먼트를 아이젠슈타인 소수라 한다. 아이젠슈타인 정수 π∈Z[ω]\pi \in \mathbb{Z}[ \omega ] 가 다음의 조건들 중 하나를 만족하면 아이젠슈타인 소수다.

  • (i): π=1+ω2\pi = 1 + \omega 2
  • (ii): 소수 p∈Zp \in \mathbb{Z} 에 대해 p≡2(mod3)p \equiv 2 \pmod{3} 인 π=p\pi = p
  • (iii): 소수 p∈Zp \in \mathbb{Z} 에 대해 p≡1(mod3)p \equiv 1 \pmod{3} 이라고 할 때, p=u2−uv+v2p = u^2 - uv+ v^2 를 만족시키는 π=u+ωv\pi = u + \omega v
  • (iv): 위의 (i)~(iii) 에 해당되는 π\pi 에 Z[ω]\mathbb{Z} [\omega ] 의 유닛 ±1,±ω,±ω2\pm 1 , \pm \omega , \pm \omega^2 을 곱해서 구해지는 ±ωkπ \pm \omega^{k} \pi
  • (iv): 위의 (i)~(iii) 에 해당되는 π\pi 에 컨쥬게이트를 취해서 구해지는 π‾\overline{\pi}

설명

아이젠슈타인 정수를 이야기할 때 π\pi 는 보통 원주율이 아니라 아이젠슈타인 소수를 나타낸다. 원래 정수의 소수를 자연 소수natural Prime pp 로 많이 써서 혼선을 방지하기 위함이다. 이러한 소수의 확장은 아이젠슈타인 정수에 대한 연구를 정수론답게 만들어준다. 이러한 점은 가우스 소수와 비슷하다.

(i)

(1+ω2)(1 + \omega 2) 는 기존의 3=−(1+ω2)23 = - (1 + \omega 2)^2 를 대신하는 느낌의 수로써, 3∈Z[ω]3 \in \mathbb{Z} [ \omega ] 의 소인수분해를 위해 필요하다. 소수 2∈Z2 \in \mathbb{Z} 는 유형 (ii)의 소수기 때문에 가장 작은 소수라고는 할 수 없지만, 그것은 애초에 Z\mathbb{Z} 에서도 마찬가지긴 했다.

(ii)

예로써 55 는 아이젠슈타인 정수를 동원해도 소인수분해를 할 수 없다. 진짜 안 되는지 확인하는 것은 무의미하므로 그냥 증명부터 보는 것을 추천한다.

(iii), (iv), (v)

예로써 77 은 7=(3+ω)(2−ω)7 = (3 + \omega)(2 - \omega ) 이므로 소인수분해가 가능하다. 여기서 Z[ω]\mathbb{Z}[ \omega ] 는 UFD이므로 유일한 소인수분해만을 가진다. 한편 (3+ω)(3 + \omega) 는 2−ω=3−(1+ω)=3+ω‾2 - \omega = 3 - (1 + \omega) = 3 + \overline{\omega} 와 켤레를 이루어서 아이젠슈타인 소수가 되는 것을 확인할 수 있다.

증명

전략: (Z[ω],N)(Z[ \omega ] , N) 은 놈이 N(x+ωy)=x2−xy+y2N(x+\omega y) = x^2 - xy + y^2 와 같이 정의된 아이젠슈타인 링이다. (단, x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}) 아이젠슈타인 소수 정리의 증명 자체는 이에 대한 대수적인 성질을 가져와 초등정수론의 여러 결과와 합친 것에 불과하나, 그 대수적인 성질과 여러 결과를 이해하는 것까지가 어렵다.

Part 0. ∣N(π)∣=p| N( \pi ) | = p 가 소수면 π\pi 는 아이젠슈타인 소수다.

승법적 놈의 성질: p∈Z p \in \mathbb{Z} 가 소수라고 하자.

  • [1]: DD 에서 승법적 놈 NN 이 정의되면 N(1)=1N(1) = 1 이고 모든 유닛 u∈Du \in D 에 대해 ∣N(u)∣=1| N ( u ) | = 1
  • [2]: ∣N(α)∣=1| N ( \alpha )| =1 을 만족하는 모든 α∈D\alpha \in D 가 DD 에서 유닛이면 ∣N(π)∣=p| N ( \pi ) | = p 를 만족하는 π∈D\pi \in D 는 DD 에서 기약원이다.

아이젠슈타인 링의 성질

  • [3]: Z[ω]\mathbb{Z}[\omega] 의 유닛은 ±1,±ω,±ω2\pm 1, \pm \omega , \pm \omega^2 뿐이다.

[3]에 의해 Z[ω]\mathbb{Z}[ \omega ] 의 유닛은 ±1,±ω,±ω2\pm 1, \pm \omega , \pm \omega^2 뿐이고 [1]에 의해 N(±1)=N(±ω)=N(±ω2)=1N(\pm1) = N(\pm \omega) = N( \pm \omega^2 ) = 1 이다. ∣N(α)∣=1| N ( \alpha )| =1 를 만족하는 모든 α\alpha 가 Z[ω]\mathbb{Z}[ \omega ] 에서 유닛이었으므로, [2]에 의해 ∣N(π)∣=p| N( \pi ) | = p 를 만족하는 π\pi 는 Z[ω]\mathbb{Z}[ \omega ] 의 이리듀서블 엘리먼트가 된다. 다시 말해, ∣N(π)∣=p| N( \pi ) | = p 가 소수면 π\pi 는 아이젠슈타인 소수다.

Part (i). π=1+ω2\pi = 1 + \omega 2

π=1+ω2\pi = 1 + \omega 2 면 N(π)=12−1⋅2+22=3N(\pi) = 1^2 - 1 \cdot 2 + 2^2 = 3 은 소수이므로 Part 0에 의해 π=1+ω2\pi = 1 + \omega 2 는 아이젠슈타인 소수다.

Part (ii). π≡2(mod3)\pi \equiv 2 \pmod{3}

π=p\pi = p 가 p≡2(mod3)p \equiv 2 \pmod{3} 를 만족하는 Z\mathbb{Z} 의 소수지만 Z[ω]\mathbb{Z}[ \omega ] 의 가우스 소수가 아니어서 π=(a+ωb)(c+ωd)\pi = ( a + \omega b )( c + \omega d ) 와 같은 소인수분해가 존재한다고 가정해보자. NN 의 승법적 성질에 따라 p2=π2−π⋅0+2=N(π+ω0)=N(a+ωb)N(c+ωd)=(a2−ab+b2)(c2−cd+d2) \begin{align*} p^2 =& \pi^2 - \pi \cdot 0 + ^2 \\ =& N ( \pi + \omega 0) \\ =& N ( a + \omega b ) N ( c + \omega d ) \\ =& (a^2 - ab+ b^2) (c^2 - cd + d^2) \end{align*} 정리하면 p2=(a2−ab+b2)(c2−cd+d2)p^2 = (a^2 - ab + b^2) (c^2 -cd + d^2) 인데, p∈Zp \in \mathbb{Z} 는 소수기 때문에 {a2−ab+b2=pc2−cd+d2=p\begin{cases} a^2 - ab + b^2 = p \\ c^2 - cd + d^2 = p \end{cases} 을 만족하는 솔루션이 존재해야한다.

소수를 3으로 나눈 나머지가 1이 되는 필요충분조건: p≠3p \ne 3 이 소수라고 하자. p≡1(mod3)p \equiv 1 \pmod{3}   ⟺  \iff 어떤 a,b∈Za,b \in \mathbb{Z} 에 대해 p=a2−ab+b2p = a^2 - ab + b^2

그러나 p≡2(mod3)p \equiv 2 \pmod{3} 이므로 소수를 3으로 나눈 나머지가 1이 되는 필요충분조건에 따라 {a2−ab+b2=pc2−cd+d2=p\begin{cases} a^2 - ab + b^2 = p \\ c^2 - cd + d^2 = p \end{cases} 를 만족하는 솔루션은 존재하지 않고, 이는 모순이므로 π≡2(mod3)\pi \equiv 2 \pmod{3} 는 가우스 소수다.

Part (iii). π=u+ωv\pi = u + \omega v

소수 p∈Zp \in \mathbb{Z} 에 대해 p≡1(mod3)p \equiv 1 \pmod{3} 이므로 소수를 3으로 나눈 나머지가 1이 되는 필요충분조건에 따라 N(π)=N(u+ωv)=u2−uv+v2=p N (\pi) = N ( u+ \omega v) = u^2 -uv + v^2 = p 을 만족시키는 π=u+ωv\pi = u + \omega v 는 Part 0에 따라 가우스 소수다.

Part (iv). ±ωkπ \pm \omega^{k} \pi

위의 Part 0에서 ∣N(π)∣=p| N( \pi ) | = p 가 소수면 π\pi 는 아이젠슈타인 소수였으므로, k∈Zk \in \mathbb{Z} 에 대해 N(±ωkπ)=N(±ωk)N(π)=1⋅N(π)=p \begin{align*} N( \pm \omega^{k} \pi ) =& N( \pm \omega^{k} ) N (\pi ) \\ =& 1 \cdot N (\pi ) \\ =& p \end{align*} 를 만족시키는 ±ωkπ\pm \omega^{k} \pi 들도 역시 아이젠슈타인 소수다.

Part (v). π‾\overline{\pi}

아이젠슈타인 정수에 컨쥬게이트를 취하면 x+ωy‾=x+ω‾y=x−(1+ω)y=(x−y)−ωy \begin{align*} \overline{x + \omega y} =& x + \overline{\omega} y \\ =& x - (1 + \omega) y \\ =& (x-y) - \omega y \end{align*} 이고, 위의 Part 0에서 ∣N(π)∣=x2−xy+y2=p| N( \pi ) | = x^2 - xy + y^2 = p 가 소수면 π=x+ωy\pi = x + \omega y 는 아이젠슈타인 소수였으므로 N(π‾)=N((x−y)−ωy)=(x−y)2−(x−y)⋅(−y)+(−y)2=x2−2xy+y2+xy−y2+y2=x2−xy+y2 \begin{align*} N( \overline{\pi} ) =& N \left( (x-y) - \omega y \right) \\ =& (x-y)^2 - (x-y) \cdot (-y)+ (-y)^2 \\ =& x^2 - 2 xy + y^2 + xy - y^2 + y^2 \\ =& x^2 - xy + y^2 \end{align*} 를 만족시키는 π‾\overline{\pi} 도 역시 가우스 소수다.

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