아이젠슈타인 소수 정리 증명
정리
아이젠슈타인 링의 이리듀서블 엘리먼트를 아이젠슈타인 소수라 한다. 아이젠슈타인 정수 $\pi \in \mathbb{Z}[ \omega ]$ 가 다음의 조건들 중 하나를 만족하면 아이젠슈타인 소수다.
- (i): $\pi = 1 + \omega 2$
- (ii): 소수 $p \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $p \equiv 2 \pmod{3}$ 인 $\pi = p$
- (iii): 소수 $p \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $p \equiv 1 \pmod{3}$ 이라고 할 때, $p = u^2 - uv+ v^2$ 를 만족시키는 $\pi = u + \omega v$
- (iv): 위의 (i)~(iii) 에 해당되는 $\pi$ 에 $\mathbb{Z} [\omega ]$ 의 유닛 $\pm 1 , \pm \omega , \pm \omega^2$ 을 곱해서 구해지는 $ \pm \omega^{k} \pi$
- (iv): 위의 (i)~(iii) 에 해당되는 $\pi$ 에 컨쥬게이트를 취해서 구해지는 $\overline{\pi}$
설명
아이젠슈타인 정수를 이야기할 때 $\pi$ 는 보통 원주율이 아니라 아이젠슈타인 소수를 나타낸다. 원래 정수의 소수를 자연 소수natural Prime $p$ 로 많이 써서 혼선을 방지하기 위함이다. 이러한 소수의 확장은 아이젠슈타인 정수에 대한 연구를 정수론답게 만들어준다. 이러한 점은 가우스 소수와 비슷하다.
(i)
$(1 + \omega 2)$ 는 기존의 $3 = - (1 + \omega 2)^2$ 를 대신하는 느낌의 수로써, $3 \in \mathbb{Z} [ \omega ]$ 의 소인수분해를 위해 필요하다. 소수 $2 \in \mathbb{Z}$ 는 유형 (ii)의 소수기 때문에 가장 작은 소수라고는 할 수 없지만, 그것은 애초에 $\mathbb{Z}$ 에서도 마찬가지긴 했다.
(ii)
예로써 $5$ 는 아이젠슈타인 정수를 동원해도 소인수분해를 할 수 없다. 진짜 안 되는지 확인하는 것은 무의미하므로 그냥 증명부터 보는 것을 추천한다.
(iii), (iv), (v)
예로써 $7$ 은 $7 = (3 + \omega)(2 - \omega )$ 이므로 소인수분해가 가능하다. 여기서 $\mathbb{Z}[ \omega ]$ 는 UFD이므로 유일한 소인수분해만을 가진다. 한편 $(3 + \omega)$ 는 $2 - \omega = 3 - (1 + \omega) = 3 + \overline{\omega}$ 와 켤레를 이루어서 아이젠슈타인 소수가 되는 것을 확인할 수 있다.
증명
전략: $(Z[ \omega ] , N)$ 은 놈이 $N(x+\omega y) = x^2 - xy + y^2$ 와 같이 정의된 아이젠슈타인 링이다. (단, $x, y \in \mathbb{Z}$) 아이젠슈타인 소수 정리의 증명 자체는 이에 대한 대수적인 성질을 가져와 초등정수론의 여러 결과와 합친 것에 불과하나, 그 대수적인 성질과 여러 결과를 이해하는 것까지가 어렵다.
Part 0. $| N( \pi ) | = p$ 가 소수면 $\pi$ 는 아이젠슈타인 소수다.
승법적 놈의 성질: $ p \in \mathbb{Z}$ 가 소수라고 하자.
- [1]: $D$ 에서 승법적 놈 $N$ 이 정의되면 $N(1) = 1$ 이고 모든 유닛 $u \in D$ 에 대해 $| N ( u ) | = 1$
- [2]: $| N ( \alpha )| =1$ 을 만족하는 모든 $\alpha \in D$ 가 $D$ 에서 유닛이면 $| N ( \pi ) | = p$ 를 만족하는 $\pi \in D$ 는 $D$ 에서 기약원이다.
- [3]: $\mathbb{Z}[\omega]$ 의 유닛은 $\pm 1, \pm \omega , \pm \omega^2$ 뿐이다.
[3]에 의해 $\mathbb{Z}[ \omega ]$ 의 유닛은 $\pm 1, \pm \omega , \pm \omega^2$ 뿐이고 [1]에 의해 $N(\pm1) = N(\pm \omega) = N( \pm \omega^2 ) = 1$ 이다. $| N ( \alpha )| =1$ 를 만족하는 모든 $\alpha$ 가 $\mathbb{Z}[ \omega ]$ 에서 유닛이었으므로, [2]에 의해 $| N( \pi ) | = p$ 를 만족하는 $\pi$ 는 $\mathbb{Z}[ \omega ]$ 의 이리듀서블 엘리먼트가 된다. 다시 말해, $| N( \pi ) | = p$ 가 소수면 $\pi$ 는 아이젠슈타인 소수다.
Part (i). $\pi = 1 + \omega 2$
$\pi = 1 + \omega 2$ 면 $N(\pi) = 1^2 - 1 \cdot 2 + 2^2 = 3$ 은 소수이므로 Part 0에 의해 $\pi = 1 + \omega 2$ 는 아이젠슈타인 소수다.
Part (ii). $\pi \equiv 2 \pmod{3}$
$\pi = p$ 가 $p \equiv 2 \pmod{3}$ 를 만족하는 $\mathbb{Z}$ 의 소수지만 $\mathbb{Z}[ \omega ]$ 의 가우스 소수가 아니어서 $\pi = ( a + \omega b )( c + \omega d )$ 와 같은 소인수분해가 존재한다고 가정해보자. $N$ 의 승법적 성질에 따라 $$ \begin{align*} p^2 =& \pi^2 - \pi \cdot 0 + ^2 \\ =& N ( \pi + \omega 0) \\ =& N ( a + \omega b ) N ( c + \omega d ) \\ =& (a^2 - ab+ b^2) (c^2 - cd + d^2) \end{align*} $$ 정리하면 $p^2 = (a^2 - ab + b^2) (c^2 -cd + d^2)$ 인데, $p \in \mathbb{Z}$ 는 소수기 때문에 $\begin{cases} a^2 - ab + b^2 = p \\ c^2 - cd + d^2 = p \end{cases}$ 을 만족하는 솔루션이 존재해야한다.
소수를 3으로 나눈 나머지가 1이 되는 필요충분조건: $p \ne 3$ 이 소수라고 하자. $p \equiv 1 \pmod{3}$ $\iff$ 어떤 $a,b \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $p = a^2 - ab + b^2$
그러나 $p \equiv 2 \pmod{3}$ 이므로 소수를 3으로 나눈 나머지가 1이 되는 필요충분조건에 따라 $\begin{cases} a^2 - ab + b^2 = p \\ c^2 - cd + d^2 = p \end{cases}$ 를 만족하는 솔루션은 존재하지 않고, 이는 모순이므로 $\pi \equiv 2 \pmod{3}$ 는 가우스 소수다.
Part (iii). $\pi = u + \omega v$
소수 $p \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $p \equiv 1 \pmod{3}$ 이므로 소수를 3으로 나눈 나머지가 1이 되는 필요충분조건에 따라 $$ N (\pi) = N ( u+ \omega v) = u^2 -uv + v^2 = p $$ 을 만족시키는 $\pi = u + \omega v$ 는 Part 0에 따라 가우스 소수다.
Part (iv). $ \pm \omega^{k} \pi$
위의 Part 0에서 $| N( \pi ) | = p$ 가 소수면 $\pi$ 는 아이젠슈타인 소수였으므로, $k \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $$ \begin{align*} N( \pm \omega^{k} \pi ) =& N( \pm \omega^{k} ) N (\pi ) \\ =& 1 \cdot N (\pi ) \\ =& p \end{align*} $$ 를 만족시키는 $\pm \omega^{k} \pi $ 들도 역시 아이젠슈타인 소수다.
Part (v). $\overline{\pi}$
아이젠슈타인 정수에 컨쥬게이트를 취하면 $$ \begin{align*} \overline{x + \omega y} =& x + \overline{\omega} y \\ =& x - (1 + \omega) y \\ =& (x-y) - \omega y \end{align*} $$ 이고, 위의 Part 0에서 $| N( \pi ) | = x^2 - xy + y^2 = p$ 가 소수면 $\pi = x + \omega y$ 는 아이젠슈타인 소수였으므로 $$ \begin{align*} N( \overline{\pi} ) =& N \left( (x-y) - \omega y \right) \\ =& (x-y)^2 - (x-y) \cdot (-y)+ (-y)^2 \\ =& x^2 - 2 xy + y^2 + xy - y^2 + y^2 \\ =& x^2 - xy + y^2 \end{align*} $$ 를 만족시키는 $\overline{\pi}$ 도 역시 가우스 소수다.
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