📂전자기학

리에나르-비케르트 전위

개요¹

지연시각 $t_{r}$에서 속도 $\mathbf{v}$로 움직이는 점전하 $q$에 대한 전위를 리에나르-비케르트 전위^{Liénard-Wiechert potentials, 리에나르-비헤르트 전위}라 하며, 각각 다음과 같다.

$$ \begin{align*} V(\mathbf{r}, t) &= \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{qc}{ (\cR c -\bcR\cdot \mathbf{v})} \\ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) &= \frac{\mu_{0}}{4 \pi}\frac{qc \mathbf{v} }{(\cR c - \bcR\cdot \mathbf{v} )}=\frac{\mathbf{v}}{c^2}V(\mathbf{r}, t) \end{align*} $$

이때 $\bcR=\mathbf{r} -\mathbf{w}(t_{r})$는 지연위치에서 관찰점까지의 벡터, $\mathbf{w}(t_{r})$은 지연시각에서의 점전하의 위치인 지연 위치^{retarded position}이다.

설명

프랑스 물리학자 리에나르와 독일 물리학자 비헤르트가 각각 1898년, 1900년에 독립적으로 유도했다.

점전하가 움직인다는 상황은 보기에는 단순해서 전위를 계산하기 쉬울거라 생각할 수 있지만 사실은 그렇지 않다. 전하/전류밀도가 제자리에서 변하기만 할 때는 적어도 위치는 고정돼있었지만 이제는 그렇지 않다. 지연시각에 더해서 지연위치까지 고려해줘야한다. 특히나 이제 지연시각은 시간에 대해서 상수가 아니게됐다. 이에 대해서 자세하게 고려하지 않으면 아래와 같은 틀린 결과를 얻는다.

$$ \begin{align*} V(\mathbf{r}, t) &= \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int \frac{ \rho (\mathbf{r}^{\prime},t_{r}) }{\cR} d\tau^{\prime} \\ &= \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int \frac{ q\delta \big( \mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{w}(t_{r}) \big) }{\cR} d\tau^{\prime} \\ &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{q}{c} \end{align*} $$

유도

고정된 위치에서 변하는 전하/전류밀도에 대한 전위와 전자기장을 계산할 때를 생각해보자. 움직이지 않으므로 지연 시각은 시간의 변화에 무관하고 각각의 위치에 대해서만 영향을 받았다. 하지만 이제 점전하가 움직인다고 가정하므로 지연 시각은 위치와 시간 모두에 대해서 영향을 받는다. 따라서 시간에 대해 상수가 아닌 변수이므로 $t_{r}$이 아니라 $t^{\prime}$으로 표기하자.

$$ V(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int \frac{\rho (\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})}{ | \mathbf{r} -\mathbf{r}^{\prime} | }d\tau^{\prime} $$

그리고 점전하는 정확하게 한 곳에서만 존재하므로 전하밀도를 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$ \rho (\mathbf{r}^{\prime},t)=q \delta \big( \mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{w}(t^{\prime}) \big) $$

$\delta$는 디랙-델타함수이다. 따라서 전위는

$$ \begin{equation} V(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \int \frac{q \delta \big( \mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{w}(t^{\prime}) \big)}{ | \mathbf{r} -\mathbf{r}^{\prime} | }d\tau^{\prime} \end{equation} $$

지연 위치 $\mathbf{w}(t^{\prime})$에서의 지연 시각은 현재 시간 $t$에서 지연위치에서 관찰점까지 오는데 걸리는 시간을 빼면 얻을 수 있다. 따라서 $\mathbf{w}(t^{\prime})$에서의 지연 시각은

$$ t-\frac{ | \mathbf{r} -\mathbf{w}(t^{\prime}) | }{c} $$

$(1)$에서 $t^{\prime}$을 소거해주기위해 델타함수를 사용한다. 델타함수의 정의에 의해 $1={\displaystyle \int }\delta \left( t^{\prime}-\big(t-\frac{ | \mathbf{r} -\mathbf{w}(t^{\prime}) | }{c} \big) \right) dt^{\prime}$이므로 곱해줘도 값에는 영향이 없다. 따라서

$$ \begin{align*} V(\mathbf{r}, t) &= \frac{q}{4\pi \epsilon_{0}} \int \frac{ \delta \big( \mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{w}(t^{\prime}) \big)}{ | \mathbf{r} -\mathbf{r}^{\prime} | }d\tau^{\prime} \int \delta \left( t^{\prime}-t+\frac{ | \mathbf{r} -\mathbf{w}(t^{\prime}) | }{c} \right) dt^{\prime} \\ &= \frac{q}{4\pi \epsilon_{0}} \int \int \frac{ \delta \big( \mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{w}(t^{\prime}) \big)}{ | \mathbf{r} -\mathbf{r}^{\prime} | }\delta \left( t^{\prime}-t+\frac{ | \mathbf{r} -\mathbf{w}(t^{\prime}) | }{c} \right) d\tau^{\prime}dt^{\prime} \end{align*} $$

우선 위치에 관한 적분을 풀어주면 델타함수의 성질에 의해

$$ V(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi \epsilon_{0}} \int \frac{ 1}{ | \mathbf{r} -\mathbf{w}(t^{\prime}) | }\delta \left( t^{\prime}-t+\frac{ | \mathbf{r} -\mathbf{w}(t^{\prime}) | }{c} \right) dt^{\prime} $$

또한 델타함수의 성질에 의해²

$$ \delta \left( t^{\prime}-t+\frac{ | \mathbf{r} -\mathbf{w}(t^{\prime}) | }{c} \right) =\dfrac{\delta (t^{\prime}-t_{r}) }{1-\frac{\smallacrH\cdot \mathbf{v}}{c} } $$

이다. 이때 $t_{r}$은 시각 $t$에 관찰점 $\mathbf{r}$으로 소식(전자기파)을 보내는 입자가 존재한 시각이다. 즉, $t$에 대한 지연시각이다. 움직이는 '점전하'에 대해 다루고 있으므로 어떤 시각 $t$에 어떤 위치 $\mathbf{r}$에 영향을 주는 점전하는 단 하나이고 따라서 지연 시각도 단 하나이다. 위의 식을 전위에 대입하면

$$ \begin{align*} V(\mathbf{r}, t) &= \frac{q}{4\pi \epsilon_{0}} \int \frac{ 1}{ | \mathbf{r} -\mathbf{w}(t^{\prime}) | }\dfrac{\delta (t^{\prime}-t_{r}) }{1-\frac{\smallcrH\cdot \mathbf{v}}{c} } dt^{\prime} \\ &= \frac{q}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{ 1}{ | \mathbf{r} -\mathbf{w}(t_{r}) | }\dfrac{1}{1-\frac{\smallcrH\cdot \mathbf{v}}{c} } \\ &= \frac{q}{4\pi \epsilon_{0}} \frac{ 1}{ \cR}\dfrac{1}{1-\frac{\smallcrH\cdot \mathbf{v}}{c} } \\ &= \frac{ 1}{ 4\pi \epsilon_{0} }\frac{qc}{(\cR c -\bcR\cdot \mathbf{v} )} \end{align*} $$ 벡터전위에 대해서도 같은 논리를 적용하면 결과를 얻을 수 있다. 유도 과정은 최대한 자세하게 적으나 설명은 위와 거의 같으므로 생략한다. 전류밀도는 $\mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})=\rho (\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime})\mathbf{v}(t^{\prime})$이므로

$$ \begin{align*} \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) &=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{ \mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})}{| \mathbf{r} -\mathbf{r}^{\prime}|}d\tau^{\prime} \\ &= \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{ \rho (\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime})\mathbf{v}(t^{\prime}) }{| \mathbf{r} -\mathbf{r}^{\prime}|}d\tau^{\prime} \\ &= \frac{q\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{ \delta \big( \mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{w}(t^{\prime}) \big)\mathbf{v}(t^{\prime}) }{| \mathbf{r} -\mathbf{r}^{\prime}|}d\tau^{\prime} \\ &= \frac{q\mu_{0}}{4 \pi}\int \int \frac{ \delta \big( \mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{w}(t^{\prime}) \big)\mathbf{v}(t^{\prime}) }{| \mathbf{r} -\mathbf{r}^{\prime}|} \delta \left( t^{\prime}-t+\frac{ | \mathbf{r} -\mathbf{w}(t^{\prime}) | }{c} \right)d\tau^{\prime} dt^{\prime} \\ &= \frac{q\mu_{0}}{4 \pi}\int \frac{ \mathbf{v}(t^{\prime}) }{| \mathbf{r} -\mathbf{w}(t^{\prime})|} \delta \left( t^{\prime}-t+\frac{ | \mathbf{r} -\mathbf{w}(t^{\prime}) | }{c} \right) dt^{\prime} \\ &= \frac{q\mu_{0}}{4 \pi}\int \frac{ \mathbf{v}(t^{\prime}) }{| \mathbf{r} -\mathbf{w}(t^{\prime})|} \dfrac{\delta (t^{\prime}-t_{r}) }{1-\frac{\smallcrH\cdot \mathbf{v}}{c} } dt^{\prime} \\ &= \frac{q\mu_{0}}{4 \pi} \frac{ \mathbf{v}(t_{r}) }{| \mathbf{r} -\mathbf{w}(t_{r})|} \dfrac{ 1}{1-\frac{\smallcrH\cdot \mathbf{v}}{c} } \\ &= \frac{q\mu_{0}}{4 \pi} \frac{ \mathbf{v}(t_{r}) }{\cR} \dfrac{ 1}{1-\frac{\smallcrH\cdot \mathbf{v}}{c} } \\ &= \frac{\mu_{0}}{4 \pi}\frac{qc \mathbf{v}}{(\cR c -\bcR\cdot \mathbf{v} )} \\ &= \frac{\mu_{0}\epsilon_{0}}{4 \pi\epsilon_{0}}\frac{qc \mathbf{v}}{(\cR c -\bcR\cdot \mathbf{v} )} \\ &= \frac{\mathbf{v} }{c^2} \frac{1}{4 \pi\epsilon_{0}}\frac{qc }{(\cR c -\bcR\cdot \mathbf{v} )} \\ &=\dfrac{\mathbf{v} } {c^2}V(\mathbf{r},t) \end{align*} $$

마지막에서 두번째 등호는 $\mu_{0}\epsilon_{0}=\dfrac{1}{c^2}$에 의해 성립한다.

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