📂정수론

가우스 정수

정의 ¹

$\mathbb{Z} [i] := \left\{ a + i b : a, b \in \mathbb{Z} \right\}$ 를 가우시안 링^{Gaussian ring}이라 하고, 그 원소를 가우시안 인티저라 한다.

정리

• [1]: $\overline{i} = i^{3}$
• [2]: $( a \pm ib ) + ( c \pm id) = (a \pm c) + i (b \pm d)$
• [3]: $( a + ib )( c + id) = (ac - bd) + i (ad + bc)$

설명

$i$ 는 이차방정식 $x^2 +1 = 0$ 의 복소근으로써, $\mathbb{Z} [i]$ 은 인티저 링 $\mathbb{Z}$ 의 심플 익스텐젼이 된다. 마치 실수체 $\mathbb{R}$ 이 복소수체 $\mathbb{C} = \mathbb{R} [i]$ 로 확장되는 것과 비슷한데, 그 이치 역시 크게 다르지 않다. 정수를 논함에 있어서는 무리수조차도 금기가 아닌데, 복소수라고 생각하지 못할 이유가 없다. 오히려 무리수보다 더 쉽다.

물론 정수에는 소수가 있듯, 가우스 정수에도 가우스 소수가 있다. $\mathbb{Z} [i]$ 상에서는 다음과 같이 상식적인 수식전개가 가능하다: $$\begin{align*} (7 + i2)(4 -i 2) =& (28 + 4) + i (- 14 +8 ) \\ =& 32 - i 6 \end{align*}$$ 또한 어떤 자연수 $n \in \mathbb{N}$ 이 주어졌을 때, 유한 링 $\mathbb{Z}_{n}$ 에 대해서도 $\mathbb{Z}_{n}[i]$ 를 생각해볼 수 있다. 가령 $n = 7$ 이라고 할 때 위의 전개는 다음과 같이 바뀐다: $$\begin{align*} (7 + i2)(4 -i 2) =& (28 + 4) + i (- 14 + 8 ) \\ =& 32 - i 6 \\ & \equiv 4 - i 6 \pmod{7} \\ & \equiv 4 + i \pmod{7} \end{align*}$$ 너무나 자연스럽게 합동식을 사용한 것에 주목하라. $\mathbb{Z}$ 를 $\mathbb{Z} [i]$ 로 일반화하고자하는 욕구는 수학자들에게 있어서 말로 설명하기도 어려울만큼 당연한 것이다. 해석학이 $i$ 를 허락함으로써 얻은 혁신과 비할 수 있을지는 모르겠으나, 정수론 역시 더욱 풍부하고 아름답게 만들어준 것은 확실하다. 당장 대수학의 기본정리만 생각해보아도 그러한데, $\mathbb{Z} [i]$ 에서는 $d$차 합동방정식이 많아도 $d$개의 해를 갖는다는 식의 지저분한 말이 없다. 복소수가 도입됨으로써 그냥 깔끔하게 정확히 $d$개의 해를 갖는다고 할 수 있게 된 것이다.

여기서 한걸음 더 나아간 정수 체계로는 아이젠슈타인 정수가 있다.

가우시안 링의 영인자 그래프는 오스바에 의해 연구되었다.

증명

[1]

$i$ 의 정의와 컨쥬게이트의 성질에 따라 $$\overline{i} = -i = i^{3}$$

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[2]

$\mathbb{Z} [i]$ 는 링이고, 덧셈에 대해 결합법칙과 교환법칙이 성립하므로 $$\begin{align*} ( a \pm ib ) + ( c \pm id) =& a \pm ib + c \pm id \\ =& a \pm c + ib \pm id \\ =& (a \pm c) + i (b \pm d) \end{align*}$$

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[3]

[2]에 따라 $$\begin{align*} ( a + ib )( c + id) =& ac + ibc + iad + (- 1)bd \\ =& (ac - bd) + i (ad + bc) \end{align*}$$

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