📂복소해석

실수의 허수승의 크기는 항상 1이다

정리

$$\left| r^{i \theta} \right| = 1$$ $0$ 이 아닌 실수 $r, \theta$ 에 대해 $r^{\theta}$ 의 허수승의 크기는 $1$ 이다.

설명

흔히 $\left| e^{i \theta} \right| = 1$ 는 잘 숙지하고 있지만 밑이 딱히 $e$ 가 아닌 어떤 실수라도 상관없다는 건 떠올리기 어렵다. 생각해보면 당연히 성립이야하겠지만 이렇게는 잘 쓸 일이 없어서인데, 상상보다 정말 많은 정리에서 보조정리로써 사용된다.

증명

$\theta = 0$ 이면 $r^0=1$ 이므로 당연히 $\left| r^{i \theta} \right| = \left| r^{i \cdot 0} \right| = 1$ 이 성립한다.

$\theta \ne 0$ 이면 $$\left| r^{i \theta} \right| = \left| e^{i \theta \ln r} \right| = \left| e^{i \theta (\text{Log} |r| + i \arg r )} \right|$$ $\arg r = 0$ 이므로 $$\left| e^{i \theta (\text{Log}|r| + i \arg |r| )} \right| = \left| e^{i \theta \text{Log}|r| } \right|$$ $\theta^{\prime} := \theta \text{Log}|r|$ 역시 실수고, 모든 실수 $\theta '$ 에 대해 $\left| e^{i \theta^{\prime}} \right| = 1$ 이므로 $$\left| e^{i \theta \text{Log}|r| } \right| = \left| e^{i \theta^{\prime}} \right| = 1$$

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