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확장된 실수값을 갖는 함수가 가측함수가 될 필요충분조건 📂측도론

확장된 실수값을 갖는 함수가 가측함수가 될 필요충분조건

정리1

가층공간 (X,E)(X,\mathcal{E})과 확장된 실수값을 갖는 함수 f:X→R‾f : X\rightarrow \overline{\mathbb{R}}가 가측 함수가 될 필요충분조건은 다음과 같다.

f is measurable  ⟺  {x∈X:f(x)=−∞}∈E{x∈X:α<f(x)<+∞}∈E(∀α∈R) f\text{ is measurable} \iff \begin{align} & \left\{ x \in X : f(x)=-\infty \right\} \in \mathcal{E} \\ & \left\{ x \in X : \alpha < f(x) < +\infty \right\} \in \mathcal{E}\quad (\forall \alpha \in \mathbb{R}) \end{align}

설명

위의 정리는 확장된 실수값을 갖는 함수가 가측인지를 판별할 때, 확장된 실수값을 갖는 가측함수를 다룰 때 유용하게 사용된다.

증명

보조정리

확장된 실수값을 갖는 함수 f:X→R‾f : X \rightarrow \overline{ \mathbb{R} }가 E\mathcal{E}-가측이라고 하자. 그러면 아래의 두 식이 성립한다.

{x∈X:f(x)=+∞}=⋂n=1∞{x∈X:f(x)>n}∈E{x∈X:f(x)=−∞}=[⋃n=1∞{x∈X:f(x)>−n}]c∈E \begin{align*} \left\{ x \in X : f(x) = +\infty \right\} &= \bigcap_{n=1}^{\infty} \left\{ x \in X : f(x)>n \right\} \in \mathcal{E} \\ \left\{ x \in X : f(x)=-\infty \right\} &= \left[ \bigcup_{n=1}^\infty \left\{ x \in X : f(x) >-n \right\}\right]^c \in \mathcal{E} \end{align*}

  • (  ⟹  )(\implies)

    ff가 가측이므로 보조정리에 의해서 다음이 성립한다.

    {x∈X:f(x)=−∞}∈E \left\{ x \in X : f(x)=-\infty \right\} \in \mathcal{E}

    따라서 (1)(1)이 성립한다. 임의의 α∈R\alpha \in \mathbb{R}에 대해서 다음이 성립한다.

    {x∈X:α<f(x)<+∞}={x∈X:α<f(x)}∩{x∈X:f(x)<+∞} \left\{ x \in X : \alpha < f(x) < +\infty \right\}= \left\{ x \in X : \alpha < f(x) \right\} \cap \left\{ x \in X : f(x)<+\infty \right\}

    우변의 첫번째 집합은 E\mathcal{E}의 원소임이 분명하다. 두번째 집합에 대해서는 다음이 성립하므로 E\mathcal{E}의 원소이다.

    {x∈X:f(x)<+∞}=⋃n=1∞{x∈X : f(x)<n}∈E \left\{ x \in X : f(x)<+\infty \right\}=\bigcup_{n=1}^\infty \left\{ x \in X\ :\ f(x)<n \right\} \in \mathcal{E}

    σ\sigma-대수의 정의에 의해서 다음이 성립한다.

    {x∈X:α<f(x)<+∞}∈E \left\{ x \in X : \alpha < f(x) <+\infty \right\} \in \mathcal{E}

    따라서 (2)(2)를 만족한다.

    ■

  • (  ⟸  )(\impliedby)

    가측함수의 정의에 의해 임의의 α∈R\alpha \in \mathbb{R}에 대해 {x∈X:f(x)>α}∈E\left\{ x \in X : f(x) > \alpha \right\} \in \mathcal{E}임을 보이면 된다. 임의의 α∈R\alpha \in \mathbb{R}에 대해서 다음이 성립한다.

    {x∈X:f(x)<+∞}={x∈X:−∞<f(x)<+∞}∪{x∈X:f(x)=−∞} \left\{ x \in X : f(x) < +\infty \right\}= \left\{ x \in X : -\infty < f(x) < +\infty \right\} \cup \left\{ x \in X : f(x)=-\infty \right\}

    우변의 두번째 집합은 가정에 의해 E\mathcal{E}의 원소이다. 또한 다음이 성립한다.

    {x∈X:−∞<f(x)<+∞}=⋃n=1∞{x∈X:−n<f(x)<+∞}∈E \left\{ x \in X : -\infty< f(x) <+\infty \right\} = \bigcup_{n=1}^\infty \left\{ x \in X : -n < f(x) <+\infty \right\} \in \mathcal{E}

    따라서 우변의 첫번째 집합 또한 E\mathcal{E}의 원소임을 알 수 있다. σ\sigma-대수는 합집합에 대해서 닫혀 있으므로 다음이 성립한다.

    {x∈X:f(x)<+∞}∈E \left\{ x \in X : f(x) <+\infty \right\} \in \mathcal{E}

    또한 σ\sigma-대수는 여집합에 대해서 닫혀있으므로 다음이 성립한다.

    {x∈X:f(x)=+∞}=[{x∈X:f(x)<+∞}]c∈E \left\{ x \in X : f(x)=+\infty \right\}= \left[ \left\{ x \in X : f(x) <+\infty \right\} \right]^c \in \mathcal{E}

    가정에 의해 {x∈X:α<f(x)<+∞}∈E\left\{ x \in X : \alpha<f(x) <+\infty \right\} \in \mathcal{E}이고 σ\sigma-대수는 합집합에 대해서 닫혀있으므로 다음이 성립한다.

    {x∈X:f(x)>α}={x∈X:α<f(x)<+∞}∪{x∈X:f(x)=+∞}∈E \left\{ x \in X : f(x) > \alpha \right\} = \left\{ x \in X : \alpha<f(x) <+\infty \right\} \cup \left\{ x \in X : f(x)=+\infty \right\} \in \mathcal{E}

    따라서 ff는 가측이다.

    ■

  1. Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995), p11-12 ↩︎