보렐 시그마-대수, 보렐 가측 공간
📂측도론보렐 시그마-대수, 보렐 가측 공간
정리
X를 임의의 집합이라 하자. 그리고 공집합이 아닌 A⊂P(X)가 주어졌다고 하자. 그러면 A를 포함하는 가장 작은 σ-대수인 EA가 존재한다.
증명
EA를 정의해서 그게 σ-대수가 되는 것을 보인 뒤 가장 작다는 것을 보이려고 한다.
A를 포함하는 모든 σ-대수의 집합을 S라고 하자.
S:={E⊂P(X) : E is σ−algebra, A⊂E}
그러면 P(X)∈S인 것은 자명하다. 따라서 S=∅이다. 이제 EA:=E∈S⋂E라고 하자. 그러면 A⊂EA이다. 또한 EA가 σ-대수가 됨을 보일 수 있다.
σ-대수
집합 X가 주어졌다고 하자. 아래의 조건을 만족하는 X의 부분집합들의 컬렉션 E⊂P(X)를 σ-대수 라 한다.
- (D1) ∅,X∈E
- (D2) E∈E⟹Ec∈E
- (D3) Ek∈E (∀k∈N)⟹⋃k=1∞Ek∈E
- (D4) Ek∈E (∀ k∈N)⟹⋂k=1∞Ek∈E
(D1)
각각의 E가 σ-대수이므로 ∅, X를 포함하고 있다. 따라서 EA의 정의에 따라 ∅, X∈EA임은 자명하다.
(D2)
E∈EA라 하자. 그러면 EA의 정의에 의해 각각의 E에 대해서도 E∈E이 성립한다. 각각의 E는 σ-대수이므로 Ec∈E이다. 따라서 EA의 정의에 의해 Ec∈EA이다.
(D3)
조건 (D2) 를 보인바와 같이 EA의 정의와 각각의 E가 σ-대수라는 사실을 이용하면 어렵지 않게 보일 수 있다. (D4) 는 (D3) 가 성립하면 드모르간의 법칙에 의해 자동으로 성립한다.
따라서 EA는 조건 (D1) ~ (D4) 를 만족하므로 σ-대수이다. 이제 A를 포함하는 또 다른 σ-대수를 E′이라 하자. 그러면 집합 S의 정의에 의해 E′∈S이고 자명하게 EA⊂E′이다. 따라서 EA는 A를 포함하는 가장 작은 σ-대수이다.
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정의
이때 EA를 A에 의해서 생성된 σ-대수σ-algebra generated by A라 부르고 G(A)로 표기한다.
순서쌍 (X,T)를 위상공간이라 하자. 위상의 정의에 의해 T⊂P(X)이다. 따라서 위의 정리에 의해 T를 포함하는 가장 작은 σ-대수가 존재한다. 이를 Bσ(X):=G(T)로 표기하고 위상공간 (X,T) 위의 보렐 σ-대수 혹은 간단히 보렐 대수Borel algebra라고 한다.
Bσ(X)의 원소를 보렐 집합Borel set이라 하고 순서쌍 (X,Bσ(X))를 보렐 가측 공간Borel measurable space이라 한다.
쉽게 말해서 보렐 대수란 모든 열린 집합을 원소로 가지는 가장 작은 σ-대수이다.특히, 보렐 대수에서 정의되는 모든 측도를 보렐 측도Borel measure라 부른다.
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