📂동역학

호프 바이퍼케이션

정의

호프 바이퍼케이션^{Hopf bifurcation}은 동역학계의 파라미터 변화에 따라 고정점의 안정성이 반전되며 새로운 피리어딕 오빗이 나타나거나 사라지는 바이퍼케이션이다.

노멀 폼 ¹

복소수 $z$ 가 $z = x + iy$ 혹은 극좌표계에서 $z = r e^{i \phi}$ 와 같이 나타난다고 하자. 호프 바이퍼케이션은 슈퍼크리티컬^{supercritical}과 서브크리티컬^subcritical의 두 가지 타입으로 나뉘며, 다음의 노멀 폼을 가진다:

• Supercritical:
  직교좌표계에서 $$\begin{align*} \dot{x} =& \alpha x - y - x \left( x^{2} + y^{2} \right) \\ \dot{y} =& x + \alpha y - y \left( x^{2} + y^{2} \right) \end{align*}$$ 복소평면에서 $$\dot{z} = \left( \alpha + i \right) z - z \left| z \right|^{2}$$ 극좌표계에서 $$\begin{align*} \dot{r} =& r \left( \alpha - r^{2} \right) \\ \dot{\theta} =& 1 \end{align*}$$
• Subcritical:
  직교좌표계에서 $$\begin{align*} \dot{x} =& \alpha x - y + x \left( x^{2} + y^{2} \right) \\ \dot{y} =& x + \alpha y + y \left( x^{2} + y^{2} \right) \end{align*}$$ 복소평면에서 $$\dot{z} = \left( \alpha + i \right) z + z \left| z \right|^{2}$$ 극좌표계에서 $$\begin{align*} \dot{r} =& r \left( \alpha + r^{2} \right) \\ \dot{\theta} =& 1 \end{align*}$$

다이어그램

• Supercritical: $\alpha$ 가 점점 커진다고 하자. $\alpha \le 0$ 에서는 $z = 0$ 가 스테이블 노드였다가, $\alpha > 0$ 에서 $z = 0$ 가 언스테이블 노드로 바뀌면서 스테이블한 리미트 사이클이 생겨난다.

• Subcritical: $\alpha$ 가 점점 작아진다고 하자. $\alpha \ge 0$ 에서는 $z = 0$ 가 언스테이블 노드였다가, $\alpha < 0$ 에서 $z = 0$ 가 스테이블 노드로 바뀌면서 언스테이블한 리미트 사이클이 생겨난다.

설명

호프 바이퍼케이션은 길게는 푸앙카레-안드로노프-호프 바이퍼케이션^{Poincaré–Andronov–Hopf bifurcation}이라고도 불리는 바이퍼케이션으로써, 롯카-볼테라 피식자-포식자 모델 혹은 화학반응 등과 관련된 수리적 모델에서 쉽게 그 예를 찾아볼 수 있다^{2 3}.

같이보기

• 네이막-삭커 바이퍼케이션: 이산적 시스템에서의 호프 바이퍼케이션이라 볼 수 있다.