📂통계적분석

스텝 함수와 펄스 함수

정의 ¹

1. 다음과 같이 정의된 $S_{t}^{(T)}$ 를 스텝 함수라 한다. $$ S_{t}^{(T)} := \begin{cases} 1 & , t \le T \\ 0 & , \text{otherwise} \end{cases} $$
2. 다음과 같이 정의된 $P_{t}^{(T)}$ 를 펄스 함수라 한다. $$ \begin{align*} P_{t}^{(T)} :=& \nabla S_{t}^{(T)} \\ =& S_{t}^{(T)} - S_{t-1}^{(T)} \end{align*} $$

설명

스텝 함수와 펄스 함수는 개입 분석에 쓰이는 수식을 나타내기에 유용한 함수들로써, 그 자체의 성질은 크게 의미가 없다. 스텝 함수는 말 그대로 그래프의 개형이 계단처럼 생겨서 붙인 것이고, 펄스 함수는 말 그대로 그래프는 짧은 순간의 충격을 표현한다. [ NOTE: 재미있는 것은 이러한 모양과 개념이 수리물리학에서도 등장한다는 점이다. ]

개입 분석의 폼 $Y_{t} = m_{t} + N_{t}$ 에서 개입하는 항 $m_{t}$ 를 이들 함수로 표현할 수 있다. 어느 시점 $T$ 를 기준으로 분석이 판이하게 달라지는 경우 스텝 함수를 사용하거나, 딱 하나의 예외만을 처리하기 위해 펄스 함수를 사용할 수 있다. 이를테면 다음과 같다. $$ m_{t} = \omega S_{t}^{(T)} $$

$$ m_{t} = \omega P_{t}^{(T)} $$ 여기서 $\omega$ 는 계수다. 스텝 함수와 펄스 함수는 함수값이 $0$ 아니면 $1$ 이므로 이러한 보정이 필요하다. $m_{t}$ 는 생각 이상으로 자유롭게 쓸 수 있다. 가령 $m_{t}$ 그 자체가 어떤 아리마 모형을 따른다고 가정할 수 있다. 다음은 마치 $ARMA(1,1)$ 를 연상시키는 꼴을 한다. $$ m_{t} = \delta m_{t-1} + \omega P_{t-1}^{(T)} $$ 마찬가지로 $\delta$ 는 계수다. 이러한 표현이 흥미로운 이유는 백쉬프트 $B$ 를 씀으로써 다음과 같은 수식조작을 할 수 있기 때문이다. $$ \begin{align*} m_{t} =& \delta m_{t-1} + \omega P_{t-1}^{(T)} \\ =& \delta B m_{t} + \omega B P_{t}^{(T)} \end{align*} $$ $\delta B m_{t}$ 를 좌변으로 넘기면 $$ m_{t} - \delta B m_{t} = \omega B P_{t}^{(T)} $$ 양변을 $(1-\delta B)$ 로 나누면 $$ m_{t} = {{\omega B} \over {1-\delta B}} P_{t}^{(T)} $$ 즉, $m_{t}$ 가 아주 심하게 복잡하지 않다면 $m_{t} = {{\omega ( B) } \over { \delta (B) }} P_{t}^{(T)}$ 와 같은 깔끔한 모양으로 나타낼 수 있다는 것이다. 우리는 이와 같은 방법으로 유용한 관계식 $$ S_{t}^{(T)} = {{1} \over {1 - B}} P_{t}^{(T)} $$ 을 역시 얻을 수 있으며, 이를 통해 더 자유롭게 수식을 전개할 수 있다. 물론 실제 분석에서 정말로 쓸 일은 별로 없지만, 적어도 개입 분석을 할 때의 $m_{t}$ 가 이러한 방식과 형태로 구해지는 것은 이해하고 있어야 한다.