📂양자역학

계단 함수 퍼텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식의 풀이

개요

퍼텐셜이 위 그림과 같이 계단 함수일 때 입자가 어떻게 운동하는지 알아보자. 퍼텐셜 $U$는

$$U(x) = \begin{cases} 0 & x<0 \\ U_{0} & x>0 \end{cases}$$

퍼텐셜이 $U(x)$일 때의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은

$$\dfrac{d^2 u(x)}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar ^2} \Big[ E-U(x) \Big]u(x)=0$$

풀이¹

$E<0$

에너지가 퍼텐셜보다 작으면 해가 존재하지 않으므로 고려할 필요 없다.

■

$0 < E < U_{0}$

• Part 2-1. $x<0$

  이 영역에서 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}Eu=0$$

  $\frac{2m}{\hbar^2}E$가 양수이므로 $k^2$으로 치환하면

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+k^2u=0$$

  이는 아주 간단한 2계 상미분 방정식이다. 미분 방정식을 풀면 그 해는 다음과 같다.

  $$u_{I}(x)=A_{+}e^{ikx} + A_{-}e^{-ikx}$$

  이때 $A_{+}$, $A_{-}$는 상수이다. 여기서 $u=A_{+}e^{ikx}$는 입사파, $A_{-}e^{-ikx}$는 반사파이다.

• Part 2-2. $x>0$

  이 영역에서 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_{0})u=0$$

  $E-U_{0}<0$이므로 $\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_{0})=-\kappa ^2$으로 치환하면

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}-\kappa^2 u=0$$

  이때 $\kappa$는 그리스어 ‘카파’이다. $k$(케이)와는 다른 문자이다. 이 미분 방정식의 해는 다음과 같다.

  $$u_{II}(x) = B_{+}e^{\kappa x}+B_{-}e^{-\kappa x}$$

  파동함수는 제곱적분가능해야 하므로 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}u_{II}(x)=0$이어야 한다. 그런데 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} B_{+}e^{\kappa x}=\infty$이므로 $B_{+}=0$이어야 한다. 따라서 투과파는 $u_{trans}=B_{-}e^{-\kappa x}$

• Part 2-3. 경계조건

  파동함수는 매끄럽게 생겼다고 가정하므로 $x=0$에서 연속이고 파동함수의 미분(기울기)도 $x=0$에서 연속이다. 따라서 다음의 조건을 얻는다.

  $$\begin{align*} u_{I}(0)=u_{II}(0) \quad \implies& \quad A_{+}+A_{-} = B_{-} \\ u_{I}^{\prime}(0)=u_{II}^{\prime}(0) \quad \implies& \quad ikA_{+}-ikA_{-} = -\kappa B_{-} \end{align*}$$

  두 식을 연립하면 다음을 얻는다.

  $$\frac{A_{-}} {A_{+}} = \frac{ ik+\kappa}{ik -\kappa }$$

• Part 2-4. 반사율과 투과율

  반사율과 투과율을 계산하기 위해 입사파, 반사파, 투과파의 확률 흐름을 구해보면 $$j_{inc}=\frac{\hbar k}{m}|A_{+}|^2,\quad j_{ref}=\frac{\hbar k}{m}|A_{-}|^2,\quad j_{trnas}=0$$ 따라서 반사율, 투과율은 $$R=\left| \frac{j_{ref}}{j_{inc}}\right|=\left| \frac{A_{-}} {A_{+}} \right|^2=\frac{\kappa^2+k^2}{\kappa^2 + k^2}=1$$

$$T=\left| \frac{ j_{trnas} }{j_{inc}}\right|=\frac{ 0}{\frac{\hbar k}{m}|A_{+}|^2}=0$$ 위의 결과에 따라 반사만 일어나고 투과는 일어나지 않는다는 사실을 알 수 있다. 그런데 엄연히 $B_{-} \ne 0$이므로 $x>0$에서 입자를 발견활 확률이 존재한다. 즉, 거시적으로 보면 입사한 파동은 전부 반사됐다고 볼 수 있지만 미시적으로 보면 입사파의 일부가 고전적으로는 불가능한 영역으로 투과했다는 뜻이다. 이를 터널링^tunneling 혹은 양자 터널 현상^{quanum tunnel effect}이라 한다.

■

$U_{0} < E$

• Part 3-1. $x<0$

  이 영역에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}Eu=0$$

  $\frac{2m}{\hbar^2}E$가 양수이므로 $k^2$으로 치환하면

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+k^2u=0$$

  위 식은 Part 2-1.에서 이미 풀었으므로 해를 알고있다.

  $$u_{I}(x)=A_{+}e^{ikx} + A_{-}e^{-ikx}$$ 입사파는 $u_{inc}=A_{+}e^{ikx}$, 반사파는 $u_{ref}=A_{-}e^{-ikx}$

• Part 3-2. $x>0$ 이 영역에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_{0})u=0$$

  $E-U_{0}>0$이므로 $\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_{0})=\kappa ^2$으로 치환하면

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+\kappa ^2u=0$$

  Part 3-1. 과 같은 꼴이므로 해는

  $$u_{II}(x)=B_{+}e^{i \kappa x} + B_{-}e^{-i \kappa x}$$

  이때 $x>0$영역에서 반사파는 없으므로 $B_{-}=0$이다. 따라서

  $$u_{II}(x)=B_{+}e^{i \kappa x}$$

  이고 이는 투과파이다.

• Part 3-3. 경계조건

  파동함수는 매끄럽게 생겼다고 가정하므로 $x=0$에서 연속이고 파동함수의 미분(기울기)도 $x=0$에서 연속이다. 따라서

  $$u_{I}(0)=u_{II}(0) \quad \implies \quad A_{+}+A_{-} = B_{+}$$

  $$u_{I}^{\prime}(0)=u_{II}^{\prime}(0) \quad \implies \quad ikA_{+}-ikA_{-} = i\kappa B_{+}$$

  위 두 식을 연립하면 다음을 얻는다.

  $$\frac{A_{-}} {A_{+}} = \frac{ k-\kappa}{k +\kappa }$$

  $$\frac{B_{+}} {A_{+}} = \frac{ 2k}{k +\kappa }$$

• Part 3-4. 반사율과 투과율

  입사파, 반사파, 투과파의 확률 흐름은

  $$j_{inc}=\frac{\hbar k}{m}|A_{+}|^2,\quad j_{ref}=\frac{\hbar k}{m}|A_{-}|^2,\quad j_{trnas}=\frac{\hbar \kappa}{m}|B_{+}|^2$$

  따라서 반사율, 투과율은

  $$R=\left| \frac{j_{ref}}{j_{inc}}\right|=\left| \frac{A_{-}} {A_{+}} \right|^2=\left( \frac{k-\kappa}{ k + \kappa }\right) ^2= \frac{k^2 -k\kappa +\kappa^2}{ (k + \kappa )^2 }$$

  $$T=\left| \frac{j_{trans}}{j_{inc}}\right|=\frac{\kappa}{k}\left| \frac{B_{+}} {A_{+}} \right|^2=\frac{\kappa}{k} \left( \frac{2k}{ k + \kappa }\right) ^2= \frac{2k \kappa }{ (k + \kappa )^2 }$$

  $R+T=1$이 성립하는 것은 쉽게 확인할 수 있다.

  ■