확률 흐름
정의 1 2
파동함수 $\psi (x, t)$의 확률 흐름probability current는 아래와 같이 정의된다.
$$ j(x,t) := \frac{\hbar}{2m\i}\left( \psi^{\ast}\dfrac{\partial \psi}{\partial x} - \psi\frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x}\right) \tag{1} $$
공식
확률 흐름의 변화율은 확률 밀도 의 시간에 따른 변화와 같다. 즉 다음의 식이 성립한다.
$$ \dfrac{\partial \left| \psi(x, t) \right|^{2}}{\partial t} = - \dfrac{\partial j(x,t)}{\partial x} \tag{2} $$
설명
사실 유도과정을 보면 알겠지만 $(1)$과 같이 정의하면 $(2)$가 성립된다기 보다는, $(2)$가 성립하는 수식을 $(1)$과 같이 정의한 것에 가깝다. 파동함수의 확률 밀도를 $P$라고 표기하면 $(2)$는 다음과 같다.
$$ \dfrac{\partial P}{\partial t} = - \dfrac{\partial j(x,t)}{\partial x} $$
입자가 구간 $[a, b]$ 사이에서 발견된 확률을 $P_{ab} = \displaystyle \int_{a}^{b}P$라 표기하면 다음을 얻는다.
$$ \dfrac{\partial P_{ab}}{\partial t} = j(a, t) - j(b, t) $$
따라서 $j(x, t)$는 시간이 $t$일 때 $x$ 지점을 지나가는 확률의 양이라고 받아들일 수 있다. 즉 확률 밀도의 선속이고, 파동함수의 선속이다. 이러한 이유로 $j$를 확률 흐름이라고 부른다. 좌변은 구간 $[a, b]$에서의 확률의 총 변화량을 말하고, 우변은 구간 $[a, b]$의 양 끝에서의 확률 변화를 모두 더한 것을 의미한다. 쉽게 비유해서 방안의 총 인원수 변화량은 문을 드나든 사람의 총 인원과 같다고 생각하면 된다. 이와 비슷한 개념으로 전자기학에서의 연속 방정식이 있다.
$$ \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla $$
연속 방정식은 전하량의 총 변화는 경계에서의 변화량을 모두 합한 것과 같다는 의미로, 전하량이 보존된다는 것을 나타낸다. 이와 마찬가지로 $(2)$는 확률이 보존된다는 것을 나타낸다. 당연하게도 확률 밀도를 전체 공간에서 적분하면 $1$이 되어야 하므로, 어느 곳에서 값이 감소하면 다른 곳에서는 값이 증가해야한다.
유도
슈뢰딩거 방정식으로부터 시작하자.
$$ \i \hbar \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \psi (x,t)}{\partial x^2} $$
양변에 $\psi^{\ast}$를 곱하면 아래와 같다.
$$ \i \hbar \psi^{\ast}\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \psi^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} \tag{3} $$
다시 슈뢰딩거 방정식에 복소 켤레를 취하고 $\psi$를 곱하면 다음을 얻는다.
$$ -\i \hbar \psi\frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \psi \frac{\partial ^2 \psi^{\ast}}{\partial x^2} \tag{4} $$
이제 $(3) - (4)$를 계산하면 아래와 같다.
$$ \begin{align*} \i\hbar \left[ \psi^{\ast} \frac{ \partial \psi }{\partial t} + \psi \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial t}\right] &= -\frac{ \hbar^2 }{2m}\left[\psi^{\ast} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \psi \frac{\partial^2 \psi^{\ast}}{\partial x^2} \right] \\ &= -\frac{ \hbar^2 }{2m} \left[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \psi^{\ast}\frac{\partial \psi }{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x }\right) \right] \end{align*} $$
좌변도 정리해서 다시 적으면 아래와 같다.
$$ \begin{align*} && \i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\left( \psi^{\ast} \psi \right) &= -\frac{ \hbar^2 }{2m} \frac{\partial}{\partial x} \left( \psi^{\ast}\frac{\partial \psi }{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x }\right) \\ \implies&& \frac{\partial}{\partial t}\left( \psi^{\ast} \psi \right) &= -{\color{blue}\frac{ \hbar }{2m\i} } \frac{\partial}{\partial x} {\color{blue}\left( \psi^{\ast}\frac{\partial \psi }{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x }\right)} \end{align*} $$
$\psi^{\ast} \psi=|\psi|^{2} $이므로 좌변은 확률 밀도의 시간 미분이다. 우변의 파란 부분을 $j(x,t)$라고 하면 최종적으로 다음을 얻는다.
$$ \frac{\partial }{\partial t} \left| \psi \right|^{2} = -\frac{\partial}{\partial x}j(x,t) $$
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