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확률 흐름 📂양자역학

확률 흐름

정의 1 2

파동함수 ψ(x,t)\psi (x, t)의 확률 흐름probability current는 아래와 같이 정의된다.

j(x,t):=ℏ2mi(ψ∗∂ψ∂x−ψ∂ψ∗∂x)(1) j(x,t) := \frac{\hbar}{2m\i}\left( \psi^{\ast}\dfrac{\partial \psi}{\partial x} - \psi\frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x}\right) \tag{1}

공식

확률 흐름의 변화율은 확률 밀도 의 시간에 따른 변화와 같다. 즉 다음의 식이 성립한다.

∂∣ψ(x,t)∣2∂t=−∂j(x,t)∂x(2) \dfrac{\partial \left| \psi(x, t) \right|^{2}}{\partial t} = - \dfrac{\partial j(x,t)}{\partial x} \tag{2}

설명

사실 유도과정을 보면 알겠지만 (1)(1)과 같이 정의하면 (2)(2)가 성립된다기 보다는, (2)(2)가 성립하는 수식을 (1)(1)과 같이 정의한 것에 가깝다. 파동함수의 확률 밀도를 PP라고 표기하면 (2)(2)는 다음과 같다.

∂P∂t=−∂j(x,t)∂x \dfrac{\partial P}{\partial t} = - \dfrac{\partial j(x,t)}{\partial x}

입자가 구간 [a,b][a, b] 사이에서 발견된 확률을 Pab=∫abPP_{ab} = \displaystyle \int_{a}^{b}P라 표기하면 다음을 얻는다.

∂Pab∂t=j(a,t)−j(b,t) \dfrac{\partial P_{ab}}{\partial t} = j(a, t) - j(b, t)

따라서 j(x,t)j(x, t)는 시간이 tt일 때 xx 지점을 지나가는 확률의 양이라고 받아들일 수 있다. 즉 확률 밀도의 선속이고, 파동함수의 선속이다. 이러한 이유로 jj를 확률 흐름이라고 부른다. 좌변은 구간 [a,b][a, b]에서의 확률의 총 변화량을 말하고, 우변은 구간 [a,b][a, b]의 양 끝에서의 확률 변화를 모두 더한 것을 의미한다. 쉽게 비유해서 방안의 총 인원수 변화량은 문을 드나든 사람의 총 인원과 같다고 생각하면 된다. 이와 비슷한 개념으로 전자기학에서의 연속 방정식이 있다.

∂ρ∂t=−∇ \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla

연속 방정식은 전하량의 총 변화는 경계에서의 변화량을 모두 합한 것과 같다는 의미로, 전하량이 보존된다는 것을 나타낸다. 이와 마찬가지로 (2)(2)는 확률이 보존된다는 것을 나타낸다. 당연하게도 확률 밀도를 전체 공간에서 적분하면 11이 되어야 하므로, 어느 곳에서 값이 감소하면 다른 곳에서는 값이 증가해야한다.

유도

슈뢰딩거 방정식으로부터 시작하자.

iℏ∂ψ(x,t)∂t=−ℏ22m∂2ψ(x,t)∂x2 \i \hbar \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \psi (x,t)}{\partial x^2}

양변에 ψ∗\psi^{\ast}를 곱하면 아래와 같다.

iℏψ∗∂ψ∂t=−ℏ22mψ∗∂2ψ∂x2(3) \i \hbar \psi^{\ast}\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \psi^{\ast} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} \tag{3}

다시 슈뢰딩거 방정식에 복소 켤레를 취하고 ψ\psi를 곱하면 다음을 얻는다.

−iℏψ∂ψ∗∂t=−ℏ22mψ∂2ψ∗∂x2(4) -\i \hbar \psi\frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \psi \frac{\partial ^2 \psi^{\ast}}{\partial x^2} \tag{4}

이제 (3)−(4)(3) - (4)를 계산하면 아래와 같다.

iℏ[ψ∗∂ψ∂t+ψ∂ψ∗∂t]=−ℏ22m[ψ∗∂2ψ∂x2−ψ∂2ψ∗∂x2]=−ℏ22m[∂∂x(ψ∗∂ψ∂x−ψ∂ψ∗∂x)] \begin{align*} \i\hbar \left[ \psi^{\ast} \frac{ \partial \psi }{\partial t} + \psi \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial t}\right] &= -\frac{ \hbar^2 }{2m}\left[\psi^{\ast} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \psi \frac{\partial^2 \psi^{\ast}}{\partial x^2} \right] \\ &= -\frac{ \hbar^2 }{2m} \left[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \psi^{\ast}\frac{\partial \psi }{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x }\right) \right] \end{align*}

좌변도 정리해서 다시 적으면 아래와 같다.

iℏ∂∂t(ψ∗ψ)=−ℏ22m∂∂x(ψ∗∂ψ∂x−ψ∂ψ∗∂x)  ⟹  ∂∂t(ψ∗ψ)=−ℏ2mi∂∂x(ψ∗∂ψ∂x−ψ∂ψ∗∂x) \begin{align*} && \i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\left( \psi^{\ast} \psi \right) &= -\frac{ \hbar^2 }{2m} \frac{\partial}{\partial x} \left( \psi^{\ast}\frac{\partial \psi }{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x }\right) \\ \implies&& \frac{\partial}{\partial t}\left( \psi^{\ast} \psi \right) &= -{\color{blue}\frac{ \hbar }{2m\i} } \frac{\partial}{\partial x} {\color{blue}\left( \psi^{\ast}\frac{\partial \psi }{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x }\right)} \end{align*}

ψ∗ψ=∣ψ∣2\psi^{\ast} \psi=|\psi|^{2} 이므로 좌변은 확률 밀도의 시간 미분이다. 우변의 파란 부분을 j(x,t)j(x,t)라고 하면 최종적으로 다음을 얻는다.

∂∂t∣ψ∣2=−∂∂xj(x,t) \frac{\partial }{\partial t} \left| \psi \right|^{2} = -\frac{\partial}{\partial x}j(x,t)

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  1. Stephen Gasiorowicz, 양자물리학(Quantum Physics, 서강대학교 물리학과 공역) (3rd Edition, 2005), p41-42 ↩︎

  2. David J. Griffiths, 양자역학(Introduction to Quantum Mechanics, 권영준 역) (2nd Edition, 2006), p21-22 ↩︎