양자역학에서의 그람-슈미트 직교화 과정
정의
그램-슈미트 직교화 과정Gram-schmidt orthogonalization procedure은 서로 직교하지 않는 벡터들로부터 직교 집합을 만드는 방법을 말한다.
공식
시간에 무관한 두 1차원 파동함수 $u_{1}$, $u_{2}$가 주어졌다고 하자. 이때 $u_{1}$, $u_{2}$는 규격화되어있고, 서로 직교하지 않는다고 하자. 그러면 다음과 같은 파동함수 $u$는 $u_{1}$과 직교하는 규격화된 파동함수이다.
$$ \begin{align*} u &= \dfrac { \displaystyle \left(- \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right)u_{1} + u_{2}}{\displaystyle \sqrt{ 1-\left| \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right|^{2}}} \\ &= \dfrac { -\braket{u_{1} | u_{2}} u_{1} + u_{2}}{\sqrt{ 1-\left| \braket{u_{1} | u_{2}} \right|^{2}}} \\ \end{align*} $$
설명
$u_{1}$와 $u_{2}$로부터 $u_{1}$과 직교하는 새로운 고유함수 $u$를 찾는게 목적이므로, 우선 $u = c_{1} u_{1} + c_{2}u_{2}$라고 하자. 이제 $u$가 $u_{1}$과 직교한다는 조건과 $u$의 규격화 조건을 이용해서 $c_{1}$과 $c_{2}$를 구할 수 있다.
Part1. $u$와 $u_{1}$는 직교한다.
$u$는 $u_{1}$과 수직이므로 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \int uu_{1}^{\ast} dx &= \int \left( c_{1} u_{1}u_{1}^{\ast} + c_{2}u_{2}u_{1}^{\ast}\right) dx \\ &= \int c_{1}u_{1} u_{1}^{\ast}dx + \int c_{2}u_{2}u_{1}^{\ast} dx \\ &= c_{1} + c_{2}\int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \\ &= 0 \end{align*} $$
따라서 다음을 얻는다.
$$ c_{1}=-c_{2} \int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \tag{1} $$
Part2. $u$는 규격화된 함수이다.
$u$는 규격화된 고유 함수이므로 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \int uu^{\ast} dx &= \int (c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2})(c_{1}u_{1}^{\ast}+c_{2}u_{2}^{\ast})dx \\ &= (c_{1})^{2} \int u_{1}u_{1}^{\ast} dx + (c_{2})^{2} \int u_{2}u_{2}^{\ast} dx + c_{1}c_{2} \left( \int u_{1}^{\ast}u_{2} dx + \int u_{1}u_{2}^{\ast}dx \right) \\ &= (c_{1})^{2} + (c_{2})^{2} + c_{1}c_{2} \left( \int u_{1}^{\ast}u_{2} dx + \int u_{1}u_{2}^{\ast}dx \right) \\ &=1 \end{align*} $$
마지막 등식에 $(1)$을 대입하면 아래와 같다.
$$ (c_{2})^{2} \left( \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right)^{2} + (c_{2})^{2} -(c_{2})^{2} \left( \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx\right)^{2} -(c_{2})^{2} \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \int u_{1}u_{2}^{\ast} dx =1 $$
$$ \implies (c_{2})^{2} -(c_{2})^{2} \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \int u_{1}u_{2}^{\ast} dx =1 $$
$$ \implies (c_{2})^{2} \left( 1- \left| \int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \right |^{2} \right)=1 $$
$$ \implies c_{2}=\dfrac{1}{\displaystyle \sqrt{1- \left|\int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \right|^{2}}} $$
여기서 $c_{2}$의 부호로 $+$를 택한 것은 단순히 편의를 위해서이며 $-$를 택해도 상관없다. 이를 $(1)$에 대입하면 $c_{1}$을 얻는다.
$$ c_{1} = \dfrac{\displaystyle -\int u_{1}^{\ast}u_{2} dx }{\displaystyle \sqrt{1- \left|\int u_{1}^{\ast}u_{2} dx \right|^{2}}} $$
따라서 $u_{1}$과 수직이면서 규격화된 함수 $u$는 다음과 같다.
$$ u = \dfrac {\displaystyle \left(- \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right)u_{1} + u_{2}}{\displaystyle \sqrt{ 1-\left| \int u_{1}^{\ast} u_{2} dx \right|^{2}}} $$
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