logo

야코비 공식 📂다변수벡터해석

야코비 공식

공식

A=A(t)A = A(t)를 미분가능한 행렬함수라 하자. 행렬식 det⁡A(t)\det A(t)의 도함수는 다음과 같다.

ddtdet⁡A(t)=Tr⁡((adj⁡A(t))dA(t)dt)=det⁡A(t)⋅Tr⁡(A−1(t)dA(t)dt) \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \det A(t) = \Tr \Big( (\operatorname{adj}A(t)) \dfrac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t} \Big) = \det A(t) \cdot \Tr\left( A^{-1}(t) \dfrac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t} \right)

이를 야코비 공식Jacobi’s formula이라 한다. 전미분꼴로 쓰면 다음과 같다. 두번째 등호는 AA가 가역행렬일 때 성립한다.

d(det⁡A)=Tr⁡((adj⁡A)dA)=det⁡A⋅Tr⁡(A−1dA) \mathrm{d}(\det A) = \Tr \Big( (\operatorname{adj}A) \mathrm{d}A \Big) = \det A \cdot \Tr(A^{-1} \mathrm{d}A)

adj⁡\operatorname{adj}는 수반행렬, Tr⁡\Tr은 트레이스, dA\mathrm{d}A는 행렬미분소를 의미한다.

증명

간단히 A=A(t)A = A(t)라 표기하고, A=[Aij]A = [A_{ij}]라고 하자. 행렬의 라플라스 전개는 다음과 같다.

det⁡A=∑jAij[adj⁡A]jifor fixed i \det A = \sum\limits_{j} A_{ij} [\operatorname{adj}A]_{ji} \qquad \text{for fixed }i

행렬식을 n2n^{2}개의 변수를 갖는 다변수함수 det⁡(A)=F(A11,A12,…,Ann)\det(A) = F(A_{11}, A_{12}, \dots, A_{nn})로 보면, 그 전미분은 다음과 같다.

d(det⁡A)=∑i,j∂F∂AijdAij \mathrm{d} (\det A) = \sum_{i,j} \dfrac{\partial F}{\partial A_{ij}}\mathrm{d}A_{ij}

편미분을 계산해보면 다음과 같다.

∂F∂Aij=∂∂Aij(∑kAik[adj⁡A]ki)=∑k(∂Aik∂Aij[adj⁡A]ki+Aik∂∂Aij[adj⁡A]ki)=∑k∂Aik∂Aij[adj⁡A]ki+∑kAik∂∂Aij[adj⁡A]ki=[adj⁡A]ji+∑kAik∂∂Aij[adj⁡A]ki \begin{align*} \dfrac{\partial F}{\partial A_{ij}} &= \dfrac{\partial }{\partial A_{ij}}\left( \sum\limits_{k} A_{ik} [\operatorname{adj}A]_{ki}\right) \\ &= \sum\limits_{k} \left( \dfrac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}} [\operatorname{adj}A]_{ki} + A_{ik}\dfrac{\partial }{\partial A_{ij}}[\operatorname{adj}A]_{ki} \right) \\ &= \sum\limits_{k} \dfrac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}} [\operatorname{adj}A]_{ki} + \sum\limits_{k}A_{ik}\dfrac{\partial }{\partial A_{ij}}[\operatorname{adj}A]_{ki} \\ &= [\operatorname{adj}A]_{ji} + \sum\limits_{k}A_{ik}\dfrac{\partial }{\partial A_{ij}}[\operatorname{adj}A]_{ki} \\ \end{align*}

그런데 여인자의 정의를 생각해보면, 모든 kk에 대해서 [adj⁡A]ki[\operatorname{adj}A]_{ki}는 AijA_{ij}를 포함하지 않으므로 AijA_{ij}에 대한 편미분은 00이다.

∂F∂Aij=[adj⁡A]ji(1) \dfrac{\partial F}{\partial A_{ij}} = [\operatorname{adj}A]_{ji} \tag{1}

따라서 다음을 얻는다.

d(det⁡A)=∑i,j[adj⁡A]jidAij=∑i∑j[adj⁡A]jidAij=∑j[(adj⁡A)dA]jj=Tr⁡((adj⁡A)dA) \begin{align*} \mathrm{d}(\det A) &= \sum\limits_{i,j} [\operatorname{adj}A]_{ji} \mathrm{d}A_{ij} \\ &= \sum\limits_{i} \sum\limits_{j} [\operatorname{adj}A]_{ji} \mathrm{d}A_{ij} \\ &= \sum\limits_{j} [(\operatorname{adj}A) \mathrm{d}A]_{jj} \\ &= \Tr \Big( (\operatorname{adj}A) \mathrm{d}A \Big) \end{align*}

세번째 등호는 행렬곱의 표현에 의해, 네번째 등호는 트레이스의 정의에 의해 성립한다. dA\mathrm{d}A는 행렬미분소이다.

한편 AA가 가역행렬이면 adj⁡A=(det⁡A)A−1\operatorname{adj}A = (\det A) A^{-1}이고, Tr⁡(kA)=kTr⁡(A)\Tr(kA) = k\Tr(A)이므로 다음을 얻는다.

d(det⁡A)=Tr⁡((adj⁡A)dA)=Tr⁡((det⁡A)A−1dA)=det⁡ATr⁡(A−1dA) \mathrm{d}(\det A) = \Tr \Big( (\operatorname{adj}A) \mathrm{d}A \Big) = \Tr \Big( (\det A) A^{-1} \mathrm{d}A \Big) = \det A \Tr \Big( A^{-1} \mathrm{d}A \Big)

한편 d(det⁡A)dt\dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}t}는 연쇄법칙에 의해 다음과 같다.

d(det⁡A)dt=d(det⁡A)dA⋅dAdt \dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}A} \cdot \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}

(1)(1)에 의해 d(det⁡A)dA=(adj⁡A)T\dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}A} = (\operatorname{adj}A)^{\mathsf{T}}이고 AB=Tr⁡(ATB)AB = \Tr(A ^{\mathsf{T}}B)이므로,

d(det⁡A)dt=(adj⁡A)TdAdt=Tr⁡((adj⁡A)dAdt)=det⁡A⋅Tr⁡(A−1dAdt) \dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}t} = (\operatorname{adj}A)^{\mathsf{T}} \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \Tr \left( (\operatorname{adj}A) \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} \right) = \det A \cdot \Tr \left( A^{-1} \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} \right)

■