자연스러운 임베딩과 반사적인 공간
📂바나흐공간 자연스러운 임베딩과 반사적인 공간 정의 ( X , ∥ ⋅ ∥ X ) \left( X, \left\| \cdot \right\|_{X} \right) ( X , ∥ ⋅ ∥ X ) 를 놈 공간 이라고 하자. 그리고 X ∗ ∗ = ( X ∗ ) ∗ X^{\ast \ast}=(X^{\ast})^{\ast} X ∗∗ = ( X ∗ ) ∗ 를 X X X 의 바이듀얼 이라고 하자. 함수 J : X → X ∗ ∗ J : X \to X^{\ast \ast} J : X → X ∗∗ 를 다음과 같이 정의하자.
J ( x ) = J x , x ∈ X
J(x)=J_{x},\quad x\in X
J ( x ) = J x , x ∈ X
이때 J x ∈ X ∗ ∗ J_{x} \in X^{\ast \ast} J x ∈ X ∗∗ 는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.
J x : X ∗ → C and J x ( x ∗ ) = x ∗ ( x )
J_{x} : X^{\ast} \to \mathbb{C} \quad \text{and} \quad J_{x}(x^{\ast})=x^{\ast}(x)
J x : X ∗ → C and J x ( x ∗ ) = x ∗ ( x )
이때 J J J 는 임베딩 이 된다. 이러한 J J J 를 자연스러운 임베딩 natural imbedding 혹은 자연스러운 인젝션 natural injection 이라 한다.
설명 놈 공간 X X X 가 주어지면 자연스럽게 X ∗ ∗ X^{\ast \ast} X ∗∗ 가 주어지고 X X X 에서 X ∗ ∗ X^{\ast \ast} X ∗∗ 로의 임베딩이 존재한다. 이런 이유로 J J J 를 자연스러운 임베딩이라 한다.
증명 J x J_{x} J x 는 X ∗ ∗ X^{\ast \ast} X ∗∗ 의 원소이므로 X ∗ X^{\ast} X ∗ 의 선형 범함수 이다. 다시 말해
J x : X ∗ → C
J_{x} : X^{\ast} \to \mathbb{C}
J x : X ∗ → C
X ∗ X^{\ast} X ∗ 의 선형 범함수 J x J_{x} J x 를 아래와 같이 정의하자.
J x ( x ∗ ) = x ∗ ( x ) , x ∗ ∈ X ∗
J_{x}(x^{\ast})=x^{\ast}(x),\quad x^{\ast} \in X^{\ast}
J x ( x ∗ ) = x ∗ ( x ) , x ∗ ∈ X ∗
"사상 J J J 에 의해 x x x 로부터 대응되는 J x J_{x} J x "는 x ∗ x^{\ast} x ∗ 를 x ∗ ( x ) x^{\ast}(x) x ∗ ( x ) 로 대응시킨다. J x J_{x} J x 가 선형인 것은 쉽게 보일 수 있다.
J x ( x ∗ + α y ∗ ) = ( x ∗ + α y ∗ ) ( x ) = x ∗ ( x ) + α y ∗ ( x ) = J x ( x ∗ ) + α J x ( y ∗ )
\begin{align*}
J_{x}(x^{\ast} + \alpha y^{\ast})
&= (x^{\ast} + \alpha y^{\ast})(x) \\
&= x^{\ast}(x) + \alpha y^{\ast}(x) \\
&= J_{x}(x^{\ast}) + \alpha J_{x}(y^{\ast})
\end{align*}
J x ( x ∗ + α y ∗ ) = ( x ∗ + α y ∗ ) ( x ) = x ∗ ( x ) + α y ∗ ( x ) = J x ( x ∗ ) + α J x ( y ∗ )
그리고 아래의 식이 성립한다.
∣ J x ( x ∗ ) ∣ = ∣ x ∗ ( x ) ∣ = ∣ ∥ x ∥ X 1 ∥ x ∥ X x ∗ ( x ) ∣ = ∥ x ∥ X ∣ x ∗ ( x ∥ x ∥ X ) ∣ ≤ ∥ x ∥ X ∥ x ∗ ∥ X ∗
\begin{align*}
|J_{x}(x^{\ast}) | =&\ | x^{\ast}(x)| \\
=&\ \left| \|x\|_{X} \frac{1}{\|x\|_{X}} x^{\ast}(x) \right| \\
=&\ \|x\|_{X} \left| x^{\ast}\left( \frac{x}{\|x\|_{X}} \right) \right| \\
\le & \| x \|_{X} \| x^{\ast} \|_{X^{\ast}}
\end{align*}
∣ J x ( x ∗ ) ∣ = = = ≤ ∣ x ∗ ( x ) ∣ ∥ x ∥ X ∥ x ∥ X 1 x ∗ ( x ) ∥ x ∥ X x ∗ ( ∥ x ∥ X x ) ∥ x ∥ X ∥ x ∗ ∥ X ∗
세 번째 줄에서 ∥ x ∥ X \|x\|_{X} ∥ x ∥ X 는 상수이므로 절댓값 밖으로 나올 수 있고, x ∗ x^{\ast} x ∗ 가 선형이므로 1 ∥ x ∥ X \frac{1}{\|x\|}_{X} ∥ x ∥ 1 X 가 함수 안으로 들어갔다. 또한 네 번째 줄은 ∥ x ∥ x ∥ X ∥ X = 1 ∥ x ∥ X ∥ x ∥ X = 1 \left\| \frac{x}{\|x\|_{X}} \right\|_{X} = \frac{1}{\left\| x \right\|_{X}} \left\| x \right\|_{X} = 1 ∥ x ∥ X x X = ∥ x ∥ X 1 ∥ x ∥ X = 1 이고 듀얼의 놈 의 정의가 다음과 같으므로 성립한다.
∥ x ∗ ∥ X ∗ = sup ∥ x ∥ X = 1 x ∈ X ∣ x ∗ ( x ) ∣
\| x^{\ast} \|_{X^{\ast}} = \sup \limits_{\substack{ \| x \|_{X} = 1 \\ x\in X}} |x^{\ast}(x)|
∥ x ∗ ∥ X ∗ = ∥ x ∥ X = 1 x ∈ X sup ∣ x ∗ ( x ) ∣
이므로 성립한다. 위의 결과로 J x J_{x} J x 의 놈을 구해보면
∥ J x ∣ ∣ X ∗ ∗ = sup ∥ x ∗ ∥ X ∗ = 1 x ∗ ∈ X ∗ ∣ J x ( x ∗ ) ∣ ≤ sup ∥ x ∗ ∥ X ∗ = 1 x ∗ ∈ X ∗ ∥ x ∥ X ∥ x ∗ ∥ X ∗
\begin{align*}
\| J_{x}||_{X^{\ast \ast}} =&\ \sup \limits_{\substack{ \|x^{\ast}\|_{X^{\ast}} = 1 \\ x^{\ast} \in X^{\ast}}} | J_{x}(x^{\ast})|
\\ \le & \sup \limits_{\substack{\|x^{\ast}\|_{X^{\ast}} = 1
\\ x^{\ast} \in X^{\ast}}} \|x\|_{X} \|x^{\ast}\|_{X^{\ast}}
\end{align*}
∥ J x ∣ ∣ X ∗∗ = ≤ ∥ x ∗ ∥ X ∗ = 1 x ∗ ∈ X ∗ sup ∣ J x ( x ∗ ) ∣ ∥ x ∗ ∥ X ∗ = 1 x ∗ ∈ X ∗ sup ∥ x ∥ X ∥ x ∗ ∥ X ∗
따라서
∥ J x ∥ X ∗ ∗ ≤ ∥ x ∥ X
\begin{equation}
\|J_{x} \|_{X^{\ast \ast}} \le \|x\|_{X}
\end{equation}
∥ J x ∥ X ∗∗ ≤ ∥ x ∥ X
한-바나흐 확장 정리
( X , ∥ ⋅ ∥ X ) (X, \left\| \cdot \right\|_{X}) ( X , ∥ ⋅ ∥ X ) 를 놈 공간이라고 하자. Y ⊂ X Y \subset X Y ⊂ X 라고 하자. 그리고 Y Y Y 의 선형 범함수 y ∗ ∈ Y ∗ y^{\ast} \in Y^{\ast} y ∗ ∈ Y ∗ 가 주어졌다고 하자. 그러면 아래의 식을 만족하는 X X X 의 선형 범함수 x ∗ ∈ X ∗ x^{\ast} \in X^{\ast} x ∗ ∈ X ∗ 가 존재한다.
x ∗ ( y ) = y ∗ ( y ) , ∀ y ∈ Y ∥ x ∗ ∥ X ∗ = ∥ y ∗ ∥ Y ∗
x^{\ast}(y)=y^{\ast}(y),\quad \forall y \in Y \\[1em]
\| x^{\ast}\|_{X^{\ast}} = \| y^{\ast}\|_{Y^{\ast}}
x ∗ ( y ) = y ∗ ( y ) , ∀ y ∈ Y ∥ x ∗ ∥ X ∗ = ∥ y ∗ ∥ Y ∗
이제 X 1 = { x ∈ X : ∥ x ∥ X = 1 } X_{1} = \left\{ x \in X : \left\| x \right\|_{X}=1 \right\} X 1 = { x ∈ X : ∥ x ∥ X = 1 } 이라고 하자. 그러면 X 1 ⊂ X X_{1} \subset X X 1 ⊂ X 이고, 한-바나흐 확장 정리에 의해 ∥ ⋅ ∥ X 1 ∈ ( X 1 ) ∗ \left\| \cdot \right\|_{X_{1}} \in (X_{1})^{\ast} ∥ ⋅ ∥ X 1 ∈ ( X 1 ) ∗ 에 대해 아래의 조건을 만족하는 X X X 의 선형 범함수 w ∗ ∈ X ∗ w^{\ast} \in X^{\ast} w ∗ ∈ X ∗ 가 존재한다.
w ∗ ( x 1 ) = ∥ x 1 ∥ X 1 = 1 , ∀ x 1 ∈ X 1 ∥ w ∗ ∥ X ∗ = ∥ ∥ ⋅ ∥ X 1 ∥ ( X 1 ) ∗ = sup x ∈ X 1 ∥ x 1 ∥ X 1 = 1
w^{\ast}(x_{1}) = \left\| x_{1} \right\|_{X_{1}} = 1,\quad \forall x_{1} \in X_{1} \\[1em]
\|w^{\ast}\|_{X^{\ast}} = \left\| \left\| \cdot \right\|_{X_{1}} \right\|_{(X_{1})^{\ast}} = \sup\limits_{\substack{x \in X_{1}}} \left\| x_{1} \right\|_{X_{1}} = 1
w ∗ ( x 1 ) = ∥ x 1 ∥ X 1 = 1 , ∀ x 1 ∈ X 1 ∥ w ∗ ∥ X ∗ = ∥ ⋅ ∥ X 1 ( X 1 ) ∗ = x ∈ X 1 sup ∥ x 1 ∥ X 1 = 1
따라서 임의의 x ∈ X x \in X x ∈ X 에 대해서,
w ∗ ( x ) = w ∗ ( ∥ x ∥ X x ∥ x ∥ X ) = ∥ x ∥ X w ∗ ( x ∥ x ∥ X ) = ∥ x ∥ X
w^{\ast}\left( x \right) = w^{\ast}\left(\left\| x \right\|_{X} \frac{x}{\left\| x \right\|_{X}}\right) = \left\| x \right\|_{X} w^{\ast} \left( \frac{x}{\left\| x \right\|_{X}} \right) = \left\| x \right\|_{X}
w ∗ ( x ) = w ∗ ( ∥ x ∥ X ∥ x ∥ X x ) = ∥ x ∥ X w ∗ ( ∥ x ∥ X x ) = ∥ x ∥ X
위의 결과들을 종합하면 아래의 식이 성립한다.
∥ J x ∥ X ∗ ∗ = sup ∥ x ∗ ∥ = 1 x ∗ ∈ X ∗ ∣ J x ( x ∗ ) ∣ ≥ ∣ J x ( w ∗ ) ∣ = ∣ w ∗ ( x ) ∣ = ∥ x ∥ X , x ∈ X
\|J_{x}\|_{X^{\ast \ast}} = \sup \limits_{\substack{\|x^{\ast}\| = 1 \\ x^{\ast}\in X^{\ast}}} |J_{x}(x^{\ast})| \ge |J_{x}(w^{\ast})|=|w^{\ast}(x)|=\|x\|_{X}, \quad x \in X
∥ J x ∥ X ∗∗ = ∥ x ∗ ∥ = 1 x ∗ ∈ X ∗ sup ∣ J x ( x ∗ ) ∣ ≥ ∣ J x ( w ∗ ) ∣ = ∣ w ∗ ( x ) ∣ = ∥ x ∥ X , x ∈ X
따라서 ( 1 ) (1) ( 1 ) 의 결과와 같이 적으면
∥ x ∥ X ≤ ∥ J x ∥ X ∗ ∗ ≤ ∥ x ∥ X
\|x\|_{X} \le \|J_{x}\|_{X^{\ast \ast}} \le \|x\|_{X}
∥ x ∥ X ≤ ∥ J x ∥ X ∗∗ ≤ ∥ x ∥ X
따라서 ∥ x ∥ X = ∥ J x ∥ X ∗ ∗ \|x\|_{X} = \|J_{x}\|_{X^{\ast \ast}} ∥ x ∥ X = ∥ J x ∥ X ∗∗ 이다. 즉, J J J 는 등거리 사상 이다. 등거리 사상은 임베딩이므로 J J J 는 X X X 에서 X ∗ ∗ X^{\ast \ast} X ∗∗ 로의 임베딩이 된다.
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정의 내츄럴 임베딩 J J J 에 대해서 J ( X ) = X ∗ ∗ J(X)=X^{\ast \ast} J ( X ) = X ∗∗ 일 때, 즉 J J J 가 전단사이면 놈 공간 X X X 를 반사적 reflexive 이라 한다.
설명 임베딩에 대한 내용을 쉽게 다시 적어보면 아래와 같다.
X X X 를 놈 공간이라고 하자. 이때 x ∈ X x\in X x ∈ X , x ∗ ∗ ∈ X ∗ ∗ x^{\ast \ast} \in X^{\ast \ast} x ∗∗ ∈ X ∗∗ 에 대해서 아래의 조건을 만족하면 X X X 를 반사적이라 한다.
∥ x ∥ X = ∥ x ∗ ∗ ∥ X ∗ ∗
\| x \|_{X} = \| x^{\ast \ast} \|_{X^{\ast \ast}}
∥ x ∥ X = ∥ x ∗∗ ∥ X ∗∗
X X X 와 X X X 의 바이듀얼에 대해서 임베딩이 존재한다는 것은 X ≅ J ( X ) ⊂ X ∗ ∗ X \cong J(X) \subset X^{\ast \ast} X ≅ J ( X ) ⊂ X ∗∗ 이라는 말이다. 즉 X X X 에 듀얼을 취할수록 X X X 보다 점점 큰 공간이 된다는 뜻이다. 그런데 X X X 가 반사적인 공간이라면 듀얼을 취해도 커지지 않고 그 크기가 유지된다. 다시 말해 X ∗ ∗ X^{\ast \ast} X ∗∗ 는 X X X 와 겉으로 달라 보이더라도 사실상 구조가 같은 집합이다. 또한 반사적인 공간은 항상 완비 이다. 즉, 반사적인 놈 공간은 바나흐 공간 이다.