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자연스러운 임베딩과 반사적인 공간 📂바나흐공간

자연스러운 임베딩과 반사적인 공간

정의1

(X,X)\left( X, \left\| \cdot \right\|_{X} \right)놈 공간이라고 하자. 그리고 X=(X)X^{\ast \ast}=(X^{\ast})^{\ast}XX바이듀얼이라고 하자. 함수 J:XXJ : X \to X^{\ast \ast}를 다음과 같이 정의하자.

J(x)=Jx,xX J(x)=J_{x},\quad x\in X

이때 JxXJ_{x} \in X^{\ast \ast}는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

Jx:XCandJx(x)=x(x) J_{x} : X^{\ast} \to \mathbb{C} \quad \text{and} \quad J_{x}(x^{\ast})=x^{\ast}(x)

이때 JJ임베딩이 된다. 이러한 JJ자연스러운 임베딩natural imbedding 혹은 자연스러운 인젝션natural injection이라 한다.

설명

놈 공간 XX가 주어지면 자연스럽게 XX^{\ast \ast}가 주어지고 XX에서 XX^{\ast \ast}로의 임베딩이 존재한다. 이런 이유로 JJ를 자연스러운 임베딩이라 한다.

증명

JxJ_{x}XX^{\ast \ast}의 원소이므로 XX^{\ast}선형 범함수이다. 다시 말해

Jx:XC J_{x} : X^{\ast} \to \mathbb{C}

XX^{\ast}의 선형 범함수 JxJ_{x}를 아래와 같이 정의하자.

Jx(x)=x(x),xX J_{x}(x^{\ast})=x^{\ast}(x),\quad x^{\ast} \in X^{\ast}

"사상 JJ에 의해 xx로부터 대응되는 JxJ_{x}"는 xx^{\ast}x(x)x^{\ast}(x)로 대응시킨다. JxJ_{x}가 선형인 것은 쉽게 보일 수 있다.

Jx(x+αy)=(x+αy)(x)=x(x)+αy(x)=Jx(x)+αJx(y) \begin{align*} J_{x}(x^{\ast} + \alpha y^{\ast}) &= (x^{\ast} + \alpha y^{\ast})(x) \\ &= x^{\ast}(x) + \alpha y^{\ast}(x) \\ &= J_{x}(x^{\ast}) + \alpha J_{x}(y^{\ast}) \end{align*}

그리고 아래의 식이 성립한다.

Jx(x)= x(x)= xX1xXx(x)= xXx(xxX)xXxX \begin{align*} |J_{x}(x^{\ast}) | =&\ | x^{\ast}(x)| \\ =&\ \left| \|x\|_{X} \frac{1}{\|x\|_{X}} x^{\ast}(x) \right| \\ =&\ \|x\|_{X} \left| x^{\ast}\left( \frac{x}{\|x\|_{X}} \right) \right| \\ \le & \| x \|_{X} \| x^{\ast} \|_{X^{\ast}} \end{align*}

세 번째 줄에서 xX\|x\|_{X}는 상수이므로 절댓값 밖으로 나올 수 있고, xx^{\ast}가 선형이므로 1xX\frac{1}{\|x\|}_{X}가 함수 안으로 들어갔다. 또한 네 번째 줄은 xxXX=1xXxX=1\left\| \frac{x}{\|x\|_{X}} \right\|_{X} = \frac{1}{\left\| x \right\|_{X}} \left\| x \right\|_{X} = 1이고 듀얼의 놈의 정의가 다음과 같으므로 성립한다.

xX=supxX=1xXx(x) \| x^{\ast} \|_{X^{\ast}} = \sup \limits_{\substack{ \| x \|_{X} = 1 \\ x\in X}} |x^{\ast}(x)|

이므로 성립한다. 위의 결과로 JxJ_{x}의 놈을 구해보면

JxX= supxX=1xXJx(x)supxX=1xXxXxX \begin{align*} \| J_{x}||_{X^{\ast \ast}} =&\ \sup \limits_{\substack{ \|x^{\ast}\|_{X^{\ast}} = 1 \\ x^{\ast} \in X^{\ast}}} | J_{x}(x^{\ast})| \\ \le & \sup \limits_{\substack{\|x^{\ast}\|_{X^{\ast}} = 1 \\ x^{\ast} \in X^{\ast}}} \|x\|_{X} \|x^{\ast}\|_{X^{\ast}} \end{align*}

따라서

JxXxX \begin{equation} \|J_{x} \|_{X^{\ast \ast}} \le \|x\|_{X} \end{equation}

한-바나흐 확장 정리

(X,X)(X, \left\| \cdot \right\|_{X})를 놈 공간이라고 하자. YXY \subset X라고 하자. 그리고 YY의 선형 범함수 yYy^{\ast} \in Y^{\ast}가 주어졌다고 하자. 그러면 아래의 식을 만족하는 XX의 선형 범함수 xXx^{\ast} \in X^{\ast}가 존재한다.

x(y)=y(y),yYxX=yY x^{\ast}(y)=y^{\ast}(y),\quad \forall y \in Y \\[1em] \| x^{\ast}\|_{X^{\ast}} = \| y^{\ast}\|_{Y^{\ast}}

이제 X1={xX:xX=1}X_{1} = \left\{ x \in X : \left\| x \right\|_{X}=1 \right\}이라고 하자. 그러면 X1XX_{1} \subset X이고, 한-바나흐 확장 정리에 의해 X1(X1)\left\| \cdot \right\|_{X_{1}} \in (X_{1})^{\ast}에 대해 아래의 조건을 만족하는 XX의 선형 범함수 wXw^{\ast} \in X^{\ast}가 존재한다.

w(x1)=x1X1=1,x1X1wX=X1(X1)=supxX1x1X1=1 w^{\ast}(x_{1}) = \left\| x_{1} \right\|_{X_{1}} = 1,\quad \forall x_{1} \in X_{1} \\[1em] \|w^{\ast}\|_{X^{\ast}} = \left\| \left\| \cdot \right\|_{X_{1}} \right\|_{(X_{1})^{\ast}} = \sup\limits_{\substack{x \in X_{1}}} \left\| x_{1} \right\|_{X_{1}} = 1

따라서 임의의 xXx \in X에 대해서,

w(x)=w(xXxxX)=xXw(xxX)=xX w^{\ast}\left( x \right) = w^{\ast}\left(\left\| x \right\|_{X} \frac{x}{\left\| x \right\|_{X}}\right) = \left\| x \right\|_{X} w^{\ast} \left( \frac{x}{\left\| x \right\|_{X}} \right) = \left\| x \right\|_{X}

위의 결과들을 종합하면 아래의 식이 성립한다.

JxX=supx=1xXJx(x)Jx(w)=w(x)=xX,xX \|J_{x}\|_{X^{\ast \ast}} = \sup \limits_{\substack{\|x^{\ast}\| = 1 \\ x^{\ast}\in X^{\ast}}} |J_{x}(x^{\ast})| \ge |J_{x}(w^{\ast})|=|w^{\ast}(x)|=\|x\|_{X}, \quad x \in X

따라서 (1)(1)의 결과와 같이 적으면

xXJxXxX \|x\|_{X} \le \|J_{x}\|_{X^{\ast \ast}} \le \|x\|_{X}

따라서 xX=JxX\|x\|_{X} = \|J_{x}\|_{X^{\ast \ast}}이다. 즉, JJ등거리 사상이다. 등거리 사상은 임베딩이므로 JJXX에서 XX^{\ast \ast}로의 임베딩이 된다.

정의

내츄럴 임베딩 JJ에 대해서 J(X)=XJ(X)=X^{\ast \ast}일 때, 즉 JJ가 전단사이면 놈 공간 XX반사적reflexive이라 한다.

설명

임베딩에 대한 내용을 쉽게 다시 적어보면 아래와 같다.

XX를 놈 공간이라고 하자. 이때 xXx\in X, xXx^{\ast \ast} \in X^{\ast \ast}에 대해서 아래의 조건을 만족하면 XX를 반사적이라 한다.

xX=xX \| x \|_{X} = \| x^{\ast \ast} \|_{X^{\ast \ast}}

XXXX의 바이듀얼에 대해서 임베딩이 존재한다는 것은 XJ(X)XX \cong J(X) \subset X^{\ast \ast}이라는 말이다. 즉 XX에 듀얼을 취할수록 XX보다 점점 큰 공간이 된다는 뜻이다. 그런데 XX가 반사적인 공간이라면 듀얼을 취해도 커지지 않고 그 크기가 유지된다. 다시 말해 XX^{\ast \ast}XX와 겉으로 달라 보이더라도 사실상 구조가 같은 집합이다. 또한 반사적인 공간은 항상 완비이다. 즉, 반사적인 놈 공간은 바나흐 공간이다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p6-7 ↩︎