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실수, 복소수, 세미 놈에 대한 한-바나흐 정리

실수에 대한 한-바나흐 정리¹

$X$는 $\mathbb{R}$-벡터 공간이고 $Y \subset X$라고 하자. $p : X \to \mathbb{ R}$를 $X$의 준선형 선형 범함수라고 하자. 이제 $y^{\ast} : Y \to \mathbb{ R}$가 아래의 조건을 만족하는 $Y$의 $\mathbb{R}$-선형 범함수라고 가정하자.

$$y^{\ast}(y) \le p(y)\quad \forall y\in Y$$

그러면 아래의 조건을 만족하는 $X$의 선형 범함수 $x^{\ast} : X \to \mathbb{R}$가 존재한다.

(a) $x^{\ast}(y)=y^{\ast}(y),\quad \forall y \in Y$

(b) $x^{\ast}(x) \le p(x),\quad \forall x \in X$

설명

$\mathbb{R}-$벡터 공간이라는 것은 체 $\mathbb{R}$에 대한 벡터 공간이라는 뜻이다. 다시 말해 벡터 공간의 상수배에 대한 조건 $(M1)$~$(M5)$가 실수에 대해서 성립한다는 뜻이다. 마찬가지로 $\mathbb{R}$-선형이라는 말은 선형에 대한 두 성질 중 상수배에 해당하는 내용이 실수에 대해서 성립한다는 뜻이다.

$X, Y$가 $\mathbb{R}$-벡터 공간이므로 $y^{\ast}$, $x^{\ast}$가 선형이라는 말과 $\mathbb{R}$-선형이라는 말은 같은 말이다. 만약 이 부분이 헷갈린다면 $\mathbb{R}$-, $\mathbb{C}$-는 이 글에서 없는 글자라고 생각하고 봐도 증명을 이해하는데는 무리가 없다. 후에 한-바나흐 정리를 놈 공간에 대해서 적용할 때 함수 $p$가 놈에 대응된다. 위 정리의 증명은 생략하고 복소수에 대한 한-바나흐 정리를 증명하기 위한 보조 정리로 사용하겠다.

복소수에 대한 한-바나흐 정리²

$X$는 $\mathbb{C}$-벡터 공간이고 $Y \subset X$라고 하자. $p : X \to \mathbb{ R}$를 아래와 같이 정의된 준선형 범함수라고 하자.

$$p(\lambda x)=|\lambda| p(x),\quad x\in X, \lambda \in \mathbb{C}$$

그리고 $y^{\ast} : Y \to \mathbb{ C}$가 아래의 조건을 만족하는 $Y$의 선형 범함수라고 가정하자.

$$\begin{equation} \text{Re}\left( y^{\ast}(y) \right) \le p(y),\quad \forall y\in Y \end{equation}$$

그러면 아래의 조건을 만족하는 $X$의 선형 범함수 $x^{\ast} : X \to \mathbb{C}$가 존재한다.

• $x^{\ast}(y)=y^{\ast}(y),\quad \forall y \in Y$
• $\text{Re}(x^{\ast}(x)) \le p(x),\quad \forall x \in X$

설명

실수에 대한 정리와 비교했을 때 $p$의 공역이 $\mathbb{R}$인 것은 변하지 않았는데 이는 위에서 언급했듯이 $X$가 놈 공간일 때 $p$가 놈에 대응되기 때문이다. $X$, $Y$는 $\mathbb{C}$-벡터공간인데 $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$이므로 $\mathbb{R}$-벡터공간이라는 조건 또한 만족한다. 모든 복소수에 대해서 벡터 공간의 조건 $(M1)$~$(M5)$가 성립하면 자동으로 모든 실수에 대해서 성립하기 때문이다. 마찬가지로 $y^{\ast}$, $x^{\ast}$는 $\mathbb{C}$-선형이므로 $\mathbb{R}-$선형이라는 조건 또한 만족한다.

증명

함수 $\psi : Y \to \mathbb{ R}$를 다음과 같이 정의하자.

$$\psi (y) = \text{Re} ( y^{\ast}(y) )$$

그러면 $\psi$도 $Y$의 $\mathbb{C}$-선형 범함수임을 보일 수 있다. 이는 $\mathrm{ Re}$와 $y^{\ast}$가 선형이기 때문에 자명한 결과이고 보이는 과정이 매우 쉬우므로 생략한다. $\psi$의 정의와 $(1)$에 의해 아래의 식이 성립한다.

$$\psi (y)= \text{Re} \left( y^{\ast}(y) \right) \le |y^{\ast}(y)| \le p(y)$$

그러면 실수에 대한 한-바나흐 정리에 의해 아래의 조건을 만족하는 $X$의 $\mathbb{R}$-선형 범함수 $\Psi : X \to \mathbb{ R}$가 존재한다.

$$\Psi (y) = \psi (y),\quad \forall y \in Y$$

$$\Psi (x) \le p(x),\quad \forall x \in X$$

그리고 다시 새로운 함수 $\Phi : X \to \mathbb{ C}$를 아래와 같이 정의하자. 최종 목표는 아래와 같이 정의한 $\Phi$가 정리에서 존재한다고 말했던 $x^{\ast}$임을 보이는 것이다.

$$\Phi (x) := \Psi (x) -i \Psi (ix)$$

그러면 $\Phi$는 $X$의 선형 범함수가 됨을 확인할 수 있다. $\Psi$가 $\mathbb{R}$-선형이므로 덧셈과 실수곱에 대해서는 선형성이 성립하는것이 자명하므로 $\Phi (ix)=i\Phi (x)$만 확인하면 된다.

$$\begin{align*} \Phi (ix) =&\ \Psi (ix) -i \Psi ( -x) \\ =&\ \Psi (ix)+i\Psi (x) \\ =&\ -i^2 \Psi (ix)+i\Psi (x) \\ =&\ i \big( \Psi (x)-i\Psi (ix) \big) \\ =&\ i\Phi (x) \end{align*}$$

$\Phi$가 (a) 를 만족함은 아래와 같이 보일 수 있다. $y \in Y$라고 하면,

$$\begin{align*} \Phi (y) =&\ \Psi (y) -i \Psi (iy) \\ =&\ \psi (y) -i\psi (iy) \\ =&\ \text{Re} \left( y^{\ast}(y) \right)-i\text{Re} \left( y^{\ast}(iy) \right) \\ =&\ \text{Re} \left( y^{\ast}(y) \right) +\text{Im} \left(-iy^{\ast}(iy) \right) \\ =&\ \text{Re} \left( y^{\ast}(y) \right) +\text{Im} \left( y^{\ast}(y) \right) \\ =&\ y^{\ast}(y) \end{align*}$$

$\Phi$가 (b) 를 만족하는 것을 보이는 것은 더 쉽다.

$$\mathrm{Re }\left( \Phi (x) \right) = \Psi (x) \le p(x)$$

따라서 $\Phi$가 $X$의 선형 범함수이고 (a), (b) 를 만족하므로 $x^{\ast}=\Phi$가 존재한다.

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세미 놈에 대한 한-바나흐 정리

$X$는 $\mathbb{C}$-벡터 공간이고 $Y \subset X$라고 하자. $p : X \to \mathbb{ R}$를 $X$의 세미 놈이라고 하자. 그리고 $y^{\ast} : Y \to \mathbb{ C}$가 아래의 조건을 만족하는 $Y$의 선형 범함수라고 가정하자.

$$| y^{\ast}(y) | \le p(y),\quad \forall y\in Y$$

그러면 아래의 조건을 만족하는 $X$의 선형 범함수 $x^{\ast} : X \to \mathbb{C}$가 존재한다.

• $x^{\ast}(y)=y^{\ast}(y),\quad \forall y \in Y$

• $| x^{\ast}(x) | \le p(x),\quad \forall x \in X$

증명

세미 놈과 준선형의 정의로부터 $p$가 세미 놈이면 준선형의 조건도 저절로 만족한다.

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우선 아래의 식이 만족하는 것은 자명하다

$$\text{Re} \left( y^{\ast}(y) \right) \le |y^{\ast}(y) | \le p(y)$$

따라서 복소수에 대한 한-바나흐 정리에 의해 아래의 두 조건을 만족하는 $X$의 선형 범함수 $x^{\ast} : X \to \mathbb{C}$가 존재한다.

$$x^{\ast}(y)=y^{\ast}(y) \quad \forall y \in Y$$

$$\text{Re} \left( x^{\ast}(x) \right) \le p(x) \quad \forall x \in X$$

$S = \left\{ \lambda \in \mathbb{C} : | \lambda | =1 \right\}$라고 하자. 그러면

$$\begin{align*} \text{Re} \left( \lambda x^{\ast}(x) \right) =&\ \text{Re} \left( \lambda x^{\ast}(\lambda x) \right) \\ \le & p(\lambda x) \\ =&\ |\lambda| p(x)=p(x) \quad \forall x \in X \end{align*}$$

이때 고정된 $x \in X$에 대해 $|x^{\ast}(x)|=\lambda x^{\ast}(x)$를 만족하는 $\lambda \in S$를 항상 찾을 수 있다. 따라서 $x$와 그 특정한 $\lambda$에 대해서 다음의 식이 성립한다.

$$| x^{\ast}(x) | =\lambda x^{\ast}(x) = \text{Re} \left( \lambda x^{\ast}(x) \right) \le p(x), \quad \forall x \in X$$

$X$의 선형 범함수 $x^{\ast}$가 두 조건을 만족하므로 증명 완료.

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부록

고정된 $x$에 대해서 $x^{\ast}(x)=a+ib$라고 하자. $\lambda=c+id$라고 하자. $\lambda$의 조건에 의해 $c^2+d^2 =1$ 이므로 $\lambda=c+i\sqrt{1-c^2}$이다. 또한 $|x^{\ast}(x)|=\sqrt{a^2+b^2}$이다. $\lambda x^{\ast}(x)=(ac-b\sqrt{1-c^2})+i(a\sqrt{1-c^2}+bc)$인데 $|x^{\ast}(x)|$가 음이아닌 실수이므로

$$\begin{align*} && a\sqrt{1-c^2}+bc =&\ 0 \\ \implies&& a^2(1-c^2) =&\ b^2c^2 \\ \implies&& a^2 =&\ (a^2+b^2)c^2 \\ \implies&& c^2 =&\ \dfrac{a^2}{a^2+b^2} \tag{2} \end{align*}$$

편의를 위해 $c=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$라고 하자. 그리고 $d=\dfrac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}}$라고 두자. 그러면 $(2)$와 $c^2+d^2=1$이 성립한다. 또한 $|x^{\ast}(x)|=ac-bd=\sqrt{a^2+b^2}$이 성립한다. 따라서 고정된 $x$에 대해서 $x^{\ast}(x)=a+ib$라면 $\lambda=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}-i\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\in S$에 대해서 $|x^{\ast}(x)|=\lambda x^{\ast}(x)$가 성립한다.