📂동역학

무한주기 바이퍼케이션

정의

무한주기 바이퍼케이션^{infinite-period}은 동역학계의 파라미터 변화에 따라 새들 포인트와 스테이블 노드를 포함하는 리미트 사이클이 나타나거나 사라지는 바이퍼케이션이다. 이 리미트 사이클로 수렴하는 주기는 파라미터의 변화에 따라 무한대로 발산하는 성질을 가져야 한다.

설명

무한주기 바이퍼케이션은 플로우가 리미트 사이클에 가까워질수록 주기가 무한대로 발산하는 리미트 사이클에 대한 바이퍼케이션이다. 물론 고정점의 근방만 보아서는 리미트 사이클에 대해 파악할 수가 없으므로 글로벌 바이퍼케이션이기도 하다¹.

리미트 사이클에 놓인 고정점 중에서도 새들 포인트와 안정적 고정점이 언급되는 이유는, 쉽게 말해 다음과 같은 형태가 강제되기 때문이다.

리미트 사이클 위에 두 개의 고정점이 있다고 상상했을 때, 다른 조합은 기하적으로 무한주기 바이퍼케이션이 되지 못한다.

(1) 언스테이블 노드는 존재할 수 없다

언스테이블 노드가 존재한다면 그것은 리미트 사이클이 될 수 없을 것이다.

(2) 스테이블 노드만 존재할 수 없다

스테이블 노드가 두 개 존재하려면 언스테이블 노드가 존재해야하는데, (1)에 의해 불가능하다.

(3) 새들 포인트의 언스테이블 매니폴드는 리미트 사이클이다

(1)과 같은 이유에서, 만약 새들 포인트가 존재한다면 그 언스테이블 매니폴드가 리미트 사이클어야 리미트 사이클일 수 있다.

(4) 새들 포인트만 존재할 수 없다

새들 포인트만 있다면 리미트 사이클의 어떤 지점에서든 스테이블 노드가 존재해야한다. 리미트 사이클이 언스테이블 매니폴드가 아닌 새들은 (3)에서 이미 배제되었다.

(5) 적어도 하나의 새들 포인트와 스테이블 노드가 존재한다

지금까지의 논의에서 모든 조건을 만족하려면, 안팎의 플로우를 끌어들이면서도 리미트 사이클 내에서는 언스테이블 매니폴드를 제공하는 새들과 그 플로우들의 수렴하는 스테이블 노드가 필요함을 알 수 있다.

예시 ²

$$ \begin{align*} \dot{r} =& r \left( 1 - r^{2} \right) \\ \dot{\theta} =& \mu - \sin \theta \end{align*} $$ 예로써 극좌표계에서 위와 같은 시스템이 주어져 있다고 하자. 이 시스템은 $\mu$ 와 관계 없이 리미트 사이클 $r = 1$ 과 언스테이블 노드 $r = 0$ 을 가지며, $0 < \mu < 1$ 일 때 $r = 1$ 위에서 두 개의 고정점 $\left\{ \sin^{-1} \mu \right\}$ 을 가진다. $\mu > 1$ 일 때는 $\dot{\theta} \ne 0$ 이므로 고정점이 존재하지 않고, 정확히 $\mu = 1$ 이 바이퍼케이션 포인트다.

$\mu < 1$

$\mu < 1$ 인 경우 이 시스템의 플로우는 파악하기 어렵지 않다. 어떤 초기조건에서 시작하든 하나의 스테이블 노드로 수렴한다.

$\mu > 1$

$\mu$ 가 무엇이든 리미트 사이클로 접근하는 속도 $\dot{r}$ 은 변하지 않지만 회전하는 속도 $\dot{\theta}$ 은 $\theta = \pi / 2$ 일 때 최소가 된다. $\mu > 1$ 가 감소하면서 $1$ 로 수렴하는, 즉 $\mu \to 1^{+}$ 을 상상해보면 $\mu$ 가 $1$ 에 가까워질수록 $\theta = \pi / 2$ 에서의 속도가 느려지고 회전하는 주기는 무한대로 발산한다.