📂바나흐공간

놈 공간이란

정의¹

$X$를 벡터 공간이라고 하자. 아래의 세 조건을 만족하는 함수 $\left\| \cdot \right\| : X \to \mathbb{R}$이 존재하면 $\left\| \cdot \right\|$를 $X$의 놈^norm이라 하고 $(X,\left\| \cdot \right\| )$를 놈 공간^{normed space}이라 한다.

(a) $\left\| x \right\| \ge 0,\quad \forall\ x \in X$이고 $\left\| x \right\|=0 \iff x = 0$

(b) $\|cx\|=|c|\left\| x \right\|,\quad \forall\ x\in X,\ \forall\ c \in\mathbb{C}$

(c) $\left\| x + y \right\| \le \left\| x \right\| + \left\| y \right\|,\quad \forall\ x,y\in X$

설명

• 놈 공간 $X$의 놈을 표기하는 방법으로는 아래의 것들이 있다.

  $$\left\| x \right\|_{X},\quad \left\| x, X \right\|, \quad \left\| x ; X \right\|$$

• (a) 여기에서 $\left\| x \right\|=0 \iff x = 0$이라는 조건이 빠지면 세미놈이 된다.

• (b) 는 다시 말해 $\left\| x - y \right\| =\|y -x\|$가 성립한다는 뜻이다.

• (c) 를 삼각 부등식 이라고 하며, 아래의 부등식을 역방향 삼각 부등식^{reverse triangle\inequality}이라 한다. 놈 공간 $(X, \left\| \cdot \right\| )$와 $x, y \in X$에 대해서 아래의 부등식이 성립한다.

  $$\left| \left\| x \right\| - \left\| y \right\|\ \right| \le \left\| x- y \right\|$$

• 놈은 연속 사상이다.

거리공간, 위상 공간으로서의 놈 공간

놈이 주어져있으면 아래와 같이 자연스럽게 거리를 정의할 수 있다. 따라서 놈 공간은 거리공간이 된다.

$$d(x,y) = d_{X}(x,y) = \left\| x - y \right\|_{X}$$

거리가 주어지면 아래와 같이 오픈 볼을 정의할 수 있다.

$$B_{d}(x,r)=B_{r}(x):=\left\{ y\in X\ :\ \left\| x - y \right\|_{X} <r \right\}$$

모든 오픈 볼들의 집합은 $X$상의 (위상수학에서의)기저가 된다. 즉, 놈 공간 $X$의 놈으로 정의된 오픈 볼들로 $X$의 위상을 만들 수 있다는 말이다. 이렇게 만들어진 위상을 $X$상에서의 놈 위상^{norm topology2}이라 한다. 또한 위상벡터공간 $X$의 위상이 놈 위상이면 $X$를 노머블^normable이라 한다.

위의 내용을 종합하면, $X$가 놈 공간이라는 말은 $X$가 벡터 공간이고, 거리공간이고, 위상 공간이라는 의미를 모두 담고있다는 뜻이다. 따라서 함수해석학에서 어떤 놈 공간이 주어지면 이를 자연스럽게 거리공간, 위상공간으로도 다룬다.

증명³

삼각 부등식에 의해

$$\left\| x \right\|= | (x-y) +y| \le |x-y| + \left\| y \right\|$$

가 성립한다. 따라서

$$\begin{equation} \left\| x \right\| - \left\| y \right\| \le \left\| x- y \right\| \end{equation}$$

마찬가지로

$$\left\| y \right\| = | (y - x) + x| \le \left\| y- x \right\| + \left\| x \right\|$$

이므로

$$\begin{equation} \left\| y \right\| - \left\| x \right\| \le \left\| y- x \right\|=\left\| x - y \right\| \end{equation}$$

가 성립한다. 따라서 $(1), (2)$에 의해

$$\left| \ \left\| x \right\| -\left\| y \right\|\ \right| \le \left\| x- y \right\|$$

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