📂르벡공간

Lp 공간의 선형 범함수

정의¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. $1 \le p \le \infty$이고 $p^{\prime}=\frac{p}{p-1}$이라고 하자. 각각의 $v \in L^{p^{\prime}}(\Omega)$에 대해서 $L^p(\Omega)$공간상의 선형 범함수 $L_{v}\ :\ L^p(\Omega) \rightarrow \mathbb{C}$를 아래와 같이 정의한다.

$$ L_{v}(u) = \int_{\Omega} u(x)v(x)dx, \quad u\in L^p(\Omega) $$

정리

$L^p$공간상의 놈을 $\| \cdot \|_{p}$로 표기하자. 그러면 횔더 부등식에 의해 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \left\| L_{v}(u) \right\| \le \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{p^{\prime}} $$

그러면 $L_{v}$의놈은 아래와 같은 부등식을 만족한다.

$$ \left\|L_{v}; (L^p)^{\ast} \right\| :=\sup \left\{ |L_{v}(u)| \ :\ \left\| u \right\|\le1 \right\} \le \left\| v \right\|_{p^{\prime}} $$

이때 $(L^p)^{\ast}$는 $L^p$의 듀얼이고. 실제로는 등식이 성립함을 증명할 수 있다.

증명

• Case 1. $1<p\le \infty$

  $u(x)$를 다음과 같다고 하자.

  $$ u(x) =\begin{cases} |v(x)|^{p^{\prime}-2}\overline{v(x)} & \mathrm{if}\ v(x)\ne 0 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases} $$

  그러면 $u(x)\in L^p$임을 다음과 같이 보일 수 있다.

  $$ \begin{align*} |u |_{p} =&\ \left( \int |u|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left( \int \left| |v(x)|^{p^{\prime}-2}\overline{v(x)} \right|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left( \int |v(x)|^{(p^{\prime}-1)p} dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left( \int |v(x)|^{p^{\prime}} dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left( \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}\right)^{\frac{1}{p}} \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{\frac{p^{\prime}}{p}} < \infty \end{align*} $$

  $\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1$이므로 잘 정리하면 $pp^{\prime}-p=p^{\prime}$을 얻을 수 있다. 이를 사용하면 네번째 등식이 성립한다. 또한 $v\in L^{p^{\prime}}$이기 때문에 마지막 부등식이 성립한다. $u \in L^p$이므로 $L_{v}$에 대입하면

  $$ \begin{align*} L_{v}(u) =&\ \int u(x)v(x) dx \\ =&\ \int | v(x)|^{p^{\prime}-2}\overline{v(x)}v(x) dx \\ =&\ \int |v(x)|^{p^{\prime}} dx \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}} \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}-1} \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{\frac{p^{\prime}}{p}} \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}\ \left\| u \right\|_{p} \end{align*} $$

  $\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1$이므로 잘 정리하면 $\frac{p^{\prime}}{p}=p^{\prime}-1$를 얻을 수 있다. 이를 사용하면 여섯번째 등식이 성립한다. 또한 마지막 등식은 위에서 얻은 결과인 $\left\| u \right\|_{p}=\left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{\frac{p^{\prime}}{p}}$를 사용하면 성립한다. 따라서

  $$ | L_{v}(u)| = \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{p^{\prime}}, \quad | L_{v}; (L^p)^{\ast}|=\left\| v \right\|_{p^{\prime}} $$

• Case 2. $p=1$

  $p=1$이면 $p^{\prime}=\infty$이다. 우선 $\left\| v \right\|_{p^{\prime}}=\left\| v \right\|_{\infty}=0$인 경우에는 $u(x)=0$라고 하자. 그러면 등식이 성립한다. 그렇지 않으면 $0 < \epsilon < \left\| v \right\|_{\infty}$이라고 하자. 또한 $A$를 $0< \mu (A) < \infty$가 성립하는 $\Omega$의 가측인 부분집합이라 하고, $A$ 위에서 $|v(x)| \ge \left\| v \right\|_{\infty} -\epsilon$이 성립한다고 하자. 이제 $u(x)$를 아래와 같다고 하자.

  $$ u(x)= \begin{cases} \overline{v(x)}/|v(x)| & \mathrm{on}\ A \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases} $$ 그러면 $u\in L^p=L^1$임을 확인할 수 있다.

  $$ \begin{align*} \left\| u \right\|_{1} =&\ \int_{A} \left| \overline{v(x)}/|v(x)| \right| dx \\ =&\ \int_{A}dx= \mu (A) < \infty \end{align*} $$

  $u \in L^1$이므로 $L_{v}$에 대입하면

  $$ \begin{align*} L_{v}(u) =&\ \int u(x)v(x)dx \\ =&\ \int |v| dx \\ \ge& \int (\left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon )dx \\ =&\ (\left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon)\int dx \\ =&\ (\left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon) \mu (A) \\ =&\ \left\| u \right\|_{1}\ ( \left\| v \right\|_{\infty} -\epsilon ) \end{align*} $$

  이때 $| L_{v}; (L^p)^{\ast}|=\sup \left\{ |L_{v}(u) |\ :\ \left\| u \right\|_{1} \le 1\right\}$이므로 위에서 얻은 $|L_{v}(u)| \ge \left\| u \right\|_{1}\ ( \left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon)$의 양변에 $\sup\limits_{\left\| u \right\|\le 1}$을 취하면

  $$ | L_{v};\ (L^p)^{\ast} | \le \left\| u \right\|_{1}\ ( \left\| v \right\|_\infty -\epsilon ) \le \left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon $$

  따라서

  $$ \left\| v \right\|_{\infty}-\epsilon \le | L_{v} | \le \left\| v \right\|_{\infty} $$

  이고 이는 임의의 $\epsilon$에 대해서 성립하므로

  $$ | L_{v}; (L^P)^{\ast}| =\left\| v \right\|_{\infty} $$

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