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영의 정리

정리¹

$p, q, r \ge 1$가 $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} + \dfrac{1}{r} = 2$를 만족한다고 하자. 그러면 모든 ${u \in L^{p}(\mathbb{R}^{n})}$, ${v \in L^{q}(\mathbb{R}^{n})}$, ${w \in L^{r}(\mathbb{R}^{n})}$에 대해서 다음의 식이 성립한다.

$$\begin{equation} \left| \int_{\mathbb{R}^{n}} (u \ast v)(x)w(x)dx \right| \le \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{q} \left\| w \right\|_{r} \end{equation}$$

이때 $u \ast v$는 $u$와 $v$의 컨볼루션이다.

설명

이를 영의 정리^{Young’s theorem}라고 한다.

부등식 $(1)$은 우변에 상수 $K=K(p, q, r, n)<1$이 있을 때 성립한다. 이 때 가장 좋은(작은) 상수는 다음과 같다.

$$K(p, q, r, n)=\left( \dfrac{ p^{1/p} q^{1/q} r^{1/r} }{ (p^{\prime})^{1/p^{\prime}}(q^{\prime})^{1/q^{\prime}}(r^{\prime})^{1/r^{\prime}} } \right)^{n/2}$$

증명

$p, q, r$의 횔더 켤레를 각각 $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$이라고 하자.

$$\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{\prime}} = 1 \quad \text{and} \quad \frac{1}{q} + \frac{1}{q^{\prime}} = 1 \quad \text{and} \quad \frac{1}{r} + \frac{1}{r^{\prime}} = 1$$

그러면 아래의 식이 성립한다.

$$\dfrac{1}{p^{\prime}} + \dfrac{1}{q^{\prime}} + \dfrac{1}{r^{\prime}} = 3 - \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{q} - \dfrac{1}{r} = 1$$

$$\frac{p}{q^{\prime}}+\dfrac{p}{r^{\prime}}=p\left( \frac{1}{q^{\prime}}+\dfrac{1}{r^{\prime}} \right) =p\left(1-\dfrac{1}{p^{\prime}}\right)=p\left(1-\frac{p-1}{p} \right)=p-p+1=1$$

마찬가지로

$$\dfrac{r}{p^{\prime}} + \dfrac{r}{q^{\prime}} = 1 \quad \text{and} \quad \dfrac{q}{p^{\prime}} + \dfrac{q}{r^{\prime}} = 1$$

그러므로 세 함수

$$U(x, y)=|v(y)|^{q/p^{\prime}}|w(x)|^{r/p^{\prime}}$$

$$V(x, y)=|u(x-y)|^{p/q^{\prime}}|w(x)|^{r/q^{\prime}}$$

$$W(x, y)=|u(x-y)|^{p/r^{\prime}}|v(y)|^{q/r^{\prime}}$$

에 대해서 다음의 식을 만족한다.

$$(UVW)(x, y)=u(x-y)v(y)w(x)$$

$\left\| V \right\|_{q^{\prime}}$를 계산해보자.

$$\begin{align*} |V |_{q^{\prime}} =&\ \left( \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} |u(x-y)|^p |w(x)|^r dxdy\right)^{1/q^{\prime}} \\ =&\ \left( \int_{\mathbb{R}^n} \left( \int_{\mathbb{R}^n} |u(x-y)|^p dy \right) |w(x)|^rdx \right)^{1/q^{\prime}} \end{align*}$$

두번째 등호는 푸비니 정리에 의해 성립한다. 이때 두번째줄의 안쪽 괄호를 보면 $x$의 값에 상관 없는 $u$의 놈이라는 것을 알 수 있다. $x-y=z$로 치환하면

$$\int_{\mathbb{R}^n} |u(x-y)|^p dy = \int_{\mathbb{R}^n} |u(z)|^pdz = \left\| u \right\|_{p}^p$$

따라서 위의 식은

$$\begin{align*} \left\| V \right\|_{q^{\prime}} =&\ \left\| u \right\|_{p}^{p/q^{\prime}}\left( \int_{\mathbb{R}^n}|w(x)|^rdx \right)^{1/q^{\prime}} \\ =&\ \left\| u \right\|_{p}^{p/q^{\prime}} \left\| w \right\|_{r}^{r/q^{\prime}} \end{align*}$$

$\left\| u \right\|_{p}, \left\| w \right\|_{r}$이 존재하므로 $\left\| v \right\|_{q^{\prime}}$ 역시 존재하고 그 값은 위와 같다. 마찬가지로

$$\left\| U \right\|_{p^{\prime}}=\left\| v \right\|_{q}^{q/p^{\prime}}\left\| w \right\|_{r}^{r/q^{\prime}}$$

가 성립하고,

$$\left\| W \right\|_{r^{\prime}} = \left\| u \right\|_{p}^{p/r^{\prime}} \left\| v \right\|_{q}^{q/r^{\prime}}$$

이 결과들을 사용해서 세 함수에 대한 횔더 부등식을 사용하면

$$\begin{align*} \left| \int_{\mathbb{R}^n} (u \ast v)(x)w(x)dx \right| \le& \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} |u(x-y)|\ |v(y)|\ |w(x)| dy dx \\ =&\ \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n}U(x, y) V(x, y) W(x, y) dy dx \\ \le & \left\| U \right\|_{p^{\prime}} \left\| V \right\|_{q^{\prime}} \left\| W \right\|_{r^{\prime}} \\ =&\ \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{q} \left\| w \right\|_{r} \end{align*}$$

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