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호프-락스 공식이 해밀턴-야코비 방정식을 만족함을 증명

정리 ¹

호프-락스 공식

$$ u(x,t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ tL\left( \dfrac{x-y}{t} \right) +g(y) \right\} $$

$x \in \mathbb{R}^n$, $t>0$이라고 하자. 그리고 호프-락스 공식에 의해 정의된 $u$가 점 $(x,t)$에서 미분가능하다고 하자. 그러면 $u$는 해밀턴-야코비 방정식 을 만족한다.

$$ u_{t}(x, t) + H\big( Du(x, t) \big) =0 $$

증명

보조정리: 호프-락스 공식의 일반화

$t>0$라고 하자. 그러면 각각의 $x \in \mathbb{R}^n$, $0< s< t$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ u(x, t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ (t-s) L \left( \dfrac{x-y}{t-s} \right) +u(y, s) \right\} $$

$s=0$일 때 호프-락스 공식과 같다.

• Part 1.

  고정된 $v \in \mathbb{R}^n$, $h>0$가 주어졌다고 하자. 그러면 보조정리에 의해서 다음이 성립한다.

  $$ \begin{align*} u(x+hv, t+h) &= \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ hL\left( \dfrac{x+hv-y}{h} \right) +u(y, t) \right\} \\ & \le hL(v)+u(x, t) \end{align*} $$

  보조정리의 공식에서 $t$ 대신 $t+h$를, $s$ 대신 $t$를 대입한 것이다. 부등식이 성립하는 이유는 모든 $y \in \mathbb{R}^n$에 대해서 최솟값이므로 $y$자리에 임의의 $x$를 대입하면 당연히 그 값은 같거나 크기 때문이다. 우변의 $u$를 이항하고 $h$로 나누면 다음을 얻는다.

  $$ \dfrac{u(x+hv, t+h)-u(x, t)}{h} \le L(v) $$

  이때 좌변은 아래의 식으로 바꿔 쓸 수 있다.

  $$ \dfrac{ u\big( (x, t)+h(v, 1) \big) -u(x, t) }{h} $$

  미분하기 위한 꼴로 바꿔준 것이다. $h^+ \rightarrow 0$인 극한을 취하면 다음을 얻는다.

  $$ \begin{align} && (v, 1) \cdot \big( Du(x, t), u_{t}(x, t) \big) &\le L(v) \nonumber \\ \implies && v\cdot Du(x, t)+ u_{t}(x, t) &\le L(v) \nonumber \\ \implies && u_{t}(x, t) + v\cdot Du(x, t)- L(v) &\le 0 \label{eq1} \end{align} $$

  이때 위 식은 모든 $v \in \mathbb{R}^n$에 대해서 성립하고, $H(p)=L^{\ast}(p)=\max\limits_{v \in \mathbb{R}^n} \left\{ p\cdot v-L(v) \right\}$이므로, $\eqref{eq1}$에 의해서 다음이 성립한다.

  $$ u_{t}(x, t) + H\big( Du(x, t) \big) = u_{t}(x, t)+\max_{v \in \mathbb{R}^n} \left\{ v \cdot Du(x, t)-L(v) \right\} \le 0 $$

• Part 2.

  호프-락스 공식에 의해서, 고정된 $x$, $t$에 대해서 다음을 만족하는 $z=z_{z, t} \in \mathbb{R}^n$가 존재한다.

  $$ \begin{equation} u(x, t)=tL\left( \dfrac{x-z}{t} \right) + g(z) \label{eq2} \end{equation} $$

  모든 $y$ 중에서 최솟값이 되게 하는 $y$를 $z$라고 둔 것이다. 그리고 고정된 $0 < h <t$가 있고, $s=t-h$, $y=\dfrac{s}{t}x+\left( 1-\dfrac{s}{t} \right)z$라고 하자. 그러면 아래의 식들이 성립한다.

  $$ \begin{equation} 0<s<t, \quad 0<\dfrac{s}{t}<1, \quad \dfrac{x-z}{t}=\dfrac{y-z}{s} \label{eq3} \end{equation} $$

  그러면

  $$ \begin{align*} u(x, t)-u(y, s) & \ge tL\left( \dfrac{x-z}{t} \right) +g(z) -\left[ sL\left(\frac{y-z}{s}\right) + g(z) \right] \\ &= (t-s)L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) \end{align*} $$

  첫째줄은 $\eqref{eq2}$와 호프-락스 공식에 의해서 성립하고, 둘째줄은 $\eqref{eq3}$에 의해서 성립한다. 이때 $s=t-h$이므로 다음이 성립한다.

  $$ y=\dfrac{s}{t}x+\left( 1-\dfrac{s}{t} \right)z=\left( 1-\dfrac{h}{t}\right )x + \dfrac{h}{t}z $$

  따라서 위의 부등식은 아래와 같다.

  $$ \begin{align*} u(x, t)-u(y, s) &= u(x, t)-u\bigg( \left( 1-\dfrac{h}{t}\right )x + \dfrac{h}{t}z, t-h \bigg) \\ & \ge & hL\left(\dfrac{x-z}{t}\right) =(t-s)L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) \end{align*} $$

  양 변을 $h$로 나누고, 좌변의 분자, 분모에 $-1$을 곱한 뒤 미분을 위한 꼴로 정리하면 다음과 같다.

  $$ \dfrac{ u\left( (x, t)-h\left( \dfrac{x-z}{t}, 1 \right) \right) - u(x, t) }{-h} \ge L\left(\dfrac{x-z}{t}\right) $$

  위의 부등식에 $h \rightarrow 0^+$ 극한을 취하면 아래와 같다.

  $$ \begin{align} &&\left( \dfrac{x-z}{t}, 1 \right) \cdot \left( Du(x, t), u_{t}(x, t) \right) = \dfrac{x-z}{t}\cdot Du(x, t) + u_{t}(x, t) &\ge L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) \nonumber \\ \implies && \dfrac{x-z}{t}\cdot Du(x, t) + u_{t}(x, t) - L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) &\ge 0 \label{eq4} \end{align} $$

  따라서 다음이 성립한다.

  $$ \begin{align*} u_{t}(x, t)+H(Du) &= u_{t}(x, t)+\max_{v \in \mathbb{R}^n} \left\{ v \cdot Du(x, t)-L(v) \right\} \\ &\ge u_{t}(x, t)+\dfrac{x-z}{t}\cdot Du(x, t)-L\left( \dfrac{x-z}{t} \right) \\ & \ge 0 \end{align*} $$

  두번째 줄은 $v=\dfrac{x-z}{t}$로 택하면 성립하고, 마지막줄은 $\eqref{eq4}$의해 성립한다.

Part 1. 과 Part 2. 에 의해 다음이 성립한다.

$$ u(x, t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ (t-s) L \left( \dfrac{x-y}{t-s} \right) +u(y, s) \right\} $$

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