멜린 변환

정의

함수 $f : [0, \infty) \to \mathbb{C}$에 대해서, 아래의 적분이 존재하면 이를 $f$의 멜린 변환^{Mellin transform}이라하고, 이러한 적분변환을 $\mathcal{M}$을 이라 표기한다.

$$ \mathcal{M}f (s) = \int_{0}^{\infty} x^{s-1}f(x)dx = \phi (s),\quad s \in \mathbb{C} $$

멜린 역변환^{inverse Mellin transform}은 다음과 같다.

$$ \mathcal{M}^{-1}\phi (x) = \dfrac{1}{2\pi i }\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} x^{-s}\phi (s) ds $$

설명

적분 변환의 일종이다. 멜린 역변환은 상수 $c$의 값에 무관하다. 멜린 변환은 컴퓨터 공학, 정수론, 수리통계학, 양자역학, 단층촬영 등에서 사용되며 라플라스 변환, 푸리에 변환, 감마 함수 등과도 관련이 있다.

푸리에 변환과의 관계

푸리에 변환을 적절히 변형하면 멜린 변환이 된다. 다시말해 $\mathcal{M}f = \mathcal{F}[f \circ \exp]$이다.

$$ \begin{align*} \mathcal{F}[f(e^x)] (\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty}f(e^x)e^{-i\xi x} dx \\ &= \int_{0}^{\infty} f(e^x)(e^x)^{-i\xi}\dfrac{1}{e^x}d(e^x) \\ &= \int_{0}^{\infty} f(t)t^{-i\xi}\dfrac{1}{t}dt \\ &= \int_{0}^{\infty} f(t)t^s\dfrac{1}{t}dt \\ &= \int_{0}^{\infty} f(t)t^{s-1}dt \\ &= \mathcal{M}[f(x)] (s) \end{align*} $$

두번째 등호는 $\frac{d e^x}{dx}=e^x \implies dx=\frac{1}{e^x}de^x$이므로 성립한다. 네번째 등호는 $s=-i \xi$로 두면 성립한다.

감마함수와의 관계

$f(x)=e^{-x}$라고 하자. 그러면 $f$의 멜린 변환은 감마함수와 같다.

$$ \mathcal{M}f(s) = \int_{0}^{\infty} x^{s-1}e^{-x}dx=\Gamma (s) $$

컨볼루션

컨볼루션이란, 곱의 적분변환을 적분변환의 곱과 같도록 만드는 함수이다. 멜린 변환의 컨볼루션은 다음과 같다.

$$ (f \times g) (y) = \int _{0}^{\infty} f(x)g \left(\frac{y}{x} \right)\frac{dx}{x} $$

$$ \mathcal{M}(f \times g)=(\mathcal{M}f)(\mathcal{M}g) $$