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해밀토니안과 라그랑지안의 컨벡스 듀얼리티 📂편미분방정식

해밀토니안과 라그랑지안의 컨벡스 듀얼리티

정리1

르장드르 변환

  • LL이 볼록함수이다.
  • lim⁡∣v∣→∞L(v)∣v∣=+∞\lim \limits_{ |v|\to \infty} \dfrac{ L(v) }{ |v| }=+\infty

위 조건을 만족하는 라그랑지안 L:Rn→RL : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}에 대해서 LL의 르장드르 변환 L∗:Rn→RL^{\ast} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}를 다음과 같이 정의한다.

L∗(p):=sup⁡v∈Rn(p⋅v−L(v))∀ p∈Rn L^{\ast} (p) := \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}} \big( p\cdot v -L(v) \big) \quad \forall \ p \in \mathbb{R}^{n}

라그랑지안 LL이 르장드르 변환이 정의될 조건을 만족한다고 하자. 해밀토니안 HH를 LL의 르장드르 변환으로 두자. H=L∗ H=L^{\ast}

그러면 HH도 르장드르 변환이 정의되기 위한 두 조건을 만족하고 L=H∗L=H^{\ast}가 성립한다.

  • (a) HH는 볼록함수이다.

    λH(v1)+(1−λ)H(v2)≤H(λv1+(1−λ)v2)∀ v1,v2∈Rn,∀ 0≤λ≤1 \lambda H(v_{1}) + (1-\lambda) H(v_{2}) \le H\big( \lambda v_{1} +(1-\lambda)v_{2} \big) \quad \forall\ v_{1},v_{2}\in \mathbb{R}^{n},\quad \forall\ 0\le \lambda \le 1

  • (b) lim⁡∣p∣→∞H(p)∣p∣=+∞\lim \limits_{ |p|\to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| }=+\infty

  • (c) L=H∗L=H^{\ast}

역도 성립한다. 더욱이 HH와 LL이 pp, v∈Rnv\in \mathbb{R}^{n}에서 미분 가능하다면 아래의 내용들은 전부 동치이다.

  • p⋅v=L(v)+H(p)p\cdot v=L(v) + H(p)
  • p=DL(v)p=DL(v)
  • v=DH(p)v=DH(p)

증명

(a)

p,q∈Rnp,q \in \mathbb{R}^{n}이고 0≤τ≤10 \le \tau \le 1이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

H(τp+(1−τ)q)=sup⁡v∈Rn((τp+(1−τ)q)⋅v−L(v))=sup⁡v∈Rn(τ(p⋅v−L(v))+(1−τ)(q⋅v−L(v)))≤τsup⁡v(p⋅v−L(v))+(1−τ)sup⁡v(q⋅v−L(v))=τH(p)+(1−τ)H(q) \begin{align*} H(\tau p+(1-\tau)q) &= \sup \limits_{v\in \mathbb{R}^{n}} \big( (\tau p + (1-\tau) q) \cdot v -L(v) \big) \\ &= \sup \limits_{v\in \mathbb{R}^{n}} \big( \tau ( p \cdot v -L(v) ) +(1-\tau)(q \cdot v -L(v)) \big) \\ &\le \tau \sup \limits_{v} (p\cdot v - L(v) ) +(1-\tau) \sup \limits_{v} (q\cdot v -L(v)) \\ &= \tau H(p) + (1-\tau)H(q) \end{align*}

두번째 등호는 τL(v)−τL(v)\tau L(v) -\tau L(v)를 더하여 정리해주면 성립한다. 세번째 줄은 LL가 볼록함수이므로 성립한다. 마지막 등호는 르장드르 변환의 정의와 H=L∗H=L^{\ast}라는 가정에 의해 성립한다.

■

(b)

고정된 임의의 양수 λ>0\lambda >0가 있다. 그리고 p≠0∈Rnp\ne 0 \in \mathbb{R}^{n} 이라고 하자. 그러면 가정에 의해 다음이 성립한다.

H(p)=sup⁡v∈Rn(p⋅v−L(v)) H(p)= \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}}( p\cdot v - L(v))

이때 v=λp∣p∣v=\lambda \frac{p}{|p|}라고 두면 sup⁡\sup의 정의에 의해 위의 식에 임의의 vv를 대입하면 위의 식보다 작거나 같으므로 다음을 얻는다.

H(p)=sup⁡v∈Rn(p⋅v−L(v))≥λ∣p∣−L(λp∣p∣)≥λ∣p∣−max⁡B(0,λ)L \begin{align*} H(p) &= \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}}( p\cdot v -L(v)) \\ &\ge \lambda |p| -L \left( \lambda \frac{p}{|p|} \right) \\ & \ge \lambda |p| - \max \limits_{B(0,\lambda)} L \end{align*}

양변을 ∣p∣|p|로 나누면 다음과 같다.

H(p)∣p∣≥λ−max⁡L∣p∣ \dfrac{H(p)}{|p|} \ge \lambda - \dfrac{\max L}{ |p| }

이는 다음의 식이 성립함을 의미한다.

lim inf⁡∣p∣→∞H(p)∣p∣≥λ \liminf \limits_{|p| \to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| } \ge \lambda

위 식은 임의의 λ\lambda에 대해서 성립하므로 다음을 얻는다.

lim inf⁡∣p∣→∞H(p)∣p∣=∞ \liminf \limits_{|p| \to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| } = \infty

따라서 다음과 같다.

lim⁡∣p∣→∞H(p)∣p∣=∞ \lim \limits_{|p| \to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| } = \infty

■

(c)

H=L∗H=L^{\ast}이고 L∗=sup⁡(p⋅v−L(v))L^{\ast}=\sup (p \cdot v -L(v))이므로 어떤 vv에 대해서도 HH는 항상 크거나 같다.

H(p)≥p⋅v−L(v)∀ v∈Rn H(p) \ge p \cdot v -L(v) \quad \forall \ v\in \mathbb{R}^{n}

HH와 LL을 이항하면 다음을 얻는다.

L(v)≥p⋅v−H(p)∀ v∈Rn L(v) \ge p \cdot v -H(p) \quad \forall \ v\in \mathbb{R}^{n}

양변에 p∈Rnp \in \mathbb{R}^{n}에 대해서 sup⁡\sup을 취하면 우변은 르장드르 변환의 정의에 의해 H∗H^{\ast}와 같다.

L(v)≥sup⁡p∈Rn(p⋅v−H(p))=H∗(v) L(v) \ge \sup_{p \in \mathbb{R}^{n}} \big( p \cdot v -H(p) \big) =H^{\ast}(v)

이제 반대 부등호 L(v)≤H∗(v)L(v) \le H^{\ast}(v)가 성립함을 보이면 증명이 끝난다. H∗H^{\ast}는 정의에 의해 다음과 같다.

H∗(v)=sup⁡p∈Rn(p⋅v−H(p)) H^{\ast}(v)= \sup_{p \in \mathbb{R}^{n}} \big( p \cdot v-H(p)\big)

그런데 H=L∗H=L^{\ast}라 가정했으므로 다음을 얻는다.

H∗(v)=sup⁡p∈Rn(p⋅v−sup⁡r∈Rn(p⋅r−L(r)))=sup⁡pinf⁡r(p⋅(v−r)+L(r) ) \begin{equation} \begin{aligned} H^{\ast}(v) &= \sup_{p \in \mathbb{R}^{n}} \big( p \cdot v-\sup_{r \in \mathbb{R}^{n}}\big( p\cdot r - L(r) \big) \big) \\ &= \sup_{p} \inf_{r} \big( p\cdot(v-r) + L(r)\ \big) \end{aligned} \label{eq1} \end{equation}

보조정리

만약 함수 f:Rn→Rf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}가 볼록하면 모든 x∈Rnx \in \mathbb{R}^{n}에 대해서 다음을 만족하는 r∈Rnr \in \mathbb{R}^{n}이 존재한다.

f(y)≥f(x)+r⋅(y−x)∀ y∈Rn f(y) \ge f(x) + r\cdot(y-x) \quad \forall\ y\in \mathbb{R}^{n}

LL은 볼록하므로 보조정리에 의해 모든 v∈Rnv \in \mathbb{R}^{n}에 대해서 다음의 조건을 만족하는 s∈Rns \in \mathbb{R}^{n}이 존재한다.

L(r)≥L(v)+s⋅(r−v)∀ r∈Rn L(r) \ge L(v)+s\cdot(r-v) \quad \forall \ r\in \mathbb{R}^{n}

s⋅(r−v)s\cdot (r-v)를 이항하고 p=sp=s를 대입하면 (eq1)\eqref{eq1}은 다음과 같다.

H∗(v)≥inf⁡r(s⋅(v−r))=L(v) H^{\ast}(v) \ge \inf_{r} \big( s\cdot (v-r) \big) =L(v)

따라서 H∗(v)≥L(v)H^{\ast}(v) \ge L(v)이고, H∗(v)=L(v)H^{\ast}(v)=L(v)이다.

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  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p121-122 ↩︎