📂편미분방정식

르장드르 변환

• x와 p에 대해서, 편미분방정식의 변수임을 강조할 때는 일반 글씨체 $x,p \in \mathbb{R}^{n}$으로 표기하고, $s$에 대한 함수임을 강조할 때는 굵은 글씨체 $\mathbf{x}, \mathbf{p} \in \mathbb{R}^{n}$으로 표기한다.

정의¹

우선 단순함을 위해 라그랑지안을 변수 $v\in \mathbb{R}^{n}$만을 가지는 함수라고 하자.

$$L(v) = L : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$$

라그랑지안 $L$이 아래의 두 조건을 만족한다고 하자

• (a) $L$이 볼록함수이다.

  $$\lambda L(v_{1}) + (1-\lambda)L(v_{2}) \le L\big( \lambda v_{1} +(1-\lambda)v_{2} \big) \quad \forall\ v_{1},v_{2}\in \mathbb{R}^{n},\quad \forall\ 0\le \lambda \le 1$$

• (b) $\lim \limits_{ |v|\to \infty} \dfrac{ L(v) }{ |v| }=+\infty$

그러면 $L$의 르장드르 변환^{Legendre transform} $L^{\ast} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$을 다음과 같이 정의한다.

$$L^{\ast} (p) := \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}} \left\{ p\cdot v -L(v) \right\} \quad \forall \ p \in \mathbb{R}^{n}$$

펜셸 변환^{Fenchel transform}이라고도 한다.

설명

이 때 $p$는 해밀토니안의 변수인 $\mathbf{p}= D_{v}L\big( \dot{\mathbf{x}},\ \mathbf{x}\big)$와 같다. $L^{\ast}$가 잘 정의됨은 다음과 같이 증명할 수 있다. 또한 $\sup$으로 정의했지만 실제로 $\max$와 같다는 것도 보일 수 있다.

정리

르장드르 변환 $L^{\ast}(p)$는 잘 정의된다. 또한 $\sup \left\{ p\cdot v -L(v) \right\} = \max \left\{ p\cdot v -L(v) \right\}$가 성립한다.

증명

잘 정의됨

$L^{\ast}(p)$가 실숫값을 가짐을 귀류법으로 증명한다. 조건 (a) 에 의해 $L$이 연속이라는 사실은 자명하다. 그리고 르장드르 변환의 정의$(\sup)$에 의해 $-\infty$는 값으로 가질 수 없다.

$$L^{\ast}(p) = \sup \left\{ p\cdot v -L(v) \right\} \in (-\infty, \infty]$$

이제 $L^{\ast}(p)=\infty$라고 가정하고 모순임을 보이면 실숫값을 가짐을 증명한 것이 된다.

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$L^{\ast}(p)=\infty$라고 가정하자. 그러면 아래의 조건을 만족시키는 수열 $\left\{ v_{k} \right\}_{k=1}^\infty$가 존재한다.

$$\begin{equation} a_{k}:= p\cdot v_{k} -L(v_{k}) \to \infty \quad \text{as } k \to \infty \label{eq1} \end{equation}$$

그리고 모든 $k$에 대해서 $v_{k} \ne 0$이라고 가정하자. 이렇게 가정해도 되는 이유는 $a_{k} \to \infty$이기 때문에 $v_{k}=0$인 경우는 많아봐야 유한개만큼이고 이를 제외한 부분수열을 다시 $v_{k}$라고 둘 수 있기 때문이다. 이제 $\left\{ v_{k} \right\}$가 유계이거나 유계가 아니거나 두 가지의 경우가 있다. 두 경우 모두 모순이 생김을 보이면 증명이 끝난다.

• Case 1. $\left\{ v_{k} \right\}$가 유계인 경우

  $\left\{ v_{k} \right\}$가 유계이므로 어느 점으로 수렴하는 부분수열이 존재하고 이를 다시 $v_{k}$라고 하자. 그러면 다음과 같은 $\left\{ v_{k} \right\}$가 존재한다.

  $$v_{k} \to v_{0} \quad \text{as } k \to \infty,\quad \mathrm{for\ some}\ v_{0}\in \mathbb{R}^{n}$$

  그러면 $L$이 연속이므로 $a_{k} \to p \cdot v_{0} -L(v_{0}) \in \mathbb{R}^{n} \quad \text{as } k \to \infty$이고 이는 $\eqref{eq1}$에 의해서 모순이다.

• Case 2. $\left\{ v_{k} \right\}$가 유계가 아닌 경우

  유계가 아니므로 다음과 같이 가정할 수 있다.

  $$|v_{k}| \to \infty \quad \text{as } k \to \infty$$

  가정에 의해 $|v_{k}| \ne 0$이므로 $a_{k}=p \cdot v_{k}-L(v_{k})$의 양변을 $|v_{k}|$로 나누면 다음과 같다.

  $$\dfrac{a_{k}}{|v_{k}|}=\dfrac{p\cdot v_{k}}{|v_{k}|}-\dfrac{L(v_{k})}{|v_{k}|}$$

  여기서 우변의 첫번째 항에 대해서 코시슈바르츠 부등식을 적용하면 다음과 같다.

  $$\left| \dfrac{p\cdot v_{k}}{|v_{k}|} \right| \le |p| \left| \dfrac{v_{k}}{|v_{k}|}\right| = | p |$$

  그러면 $k \to \infty$인 극한을 취하면, (b) 에 의해 다음을 얻는다.

  $$\lim \limits_{ |v_{k}|\to \infty} \dfrac{a_{k}}{|v_{k}|} \le \lim \limits_{ |v_{k}|\to \infty} |p| -\dfrac{L(v_{k})}{|v_{k}|} = -\infty$$ 이 때 $|v_{k}|=\infty$라는 가정에 의해 $a_{k}$는 더 빠르게 $-\infty$로 발산해야한다. 그런데 이는 $\eqref{eq1}$과 모순이다.

가능한 두 경우에 대해서 모두 모순이므로 가정 $L^{\ast}(p)=\infty$가 틀렸음을 알 수 있다. 따라서 르장드르 변환은 잘 정의된다.

$$L^{\ast}(p) \in \mathbb{R}$$

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$\sup=\max$

이는 다음의 조건을 만족하는 $v_{p} \in \mathbb{R}^{n}$이 존재함을 보이는 것과 같다.

$$L^{\ast}(p) = p\cdot v_{p}-L(v_{p})$$

우선 르장드르 변환의 정의$(\sup)$에 의해 아래의 조건을 만족하는 수열 $\left\{ v_{k} \right\}$가 존재한다.

$$\begin{equation} a_{k} := p\cdot v_{k}-L(v_{k}) \to L^{\ast}(p) \quad \text{as } k \to \infty \label{eq2} \end{equation}$$

우선 $\left\{ v_{k} \right\}$가 유계가 아니라고 가정해보자. 그러면 $|v_{k}| \to \infty$이고 위에서 보였던 바와 같이 $a_{k} \to -\infty$이고 이는 모순이다. 따라서 $\left\{ v_{k} \right\}$는 유계이다. $\left\{ v_{k} \right\}$가 유계이므로 $v_{k} \to v_{p}$로 수렴하는 부분수열이 존재한다. 따라서 다음이 성립한다.

$$p\cdot v_{k} - L(v_{k}) \to p \cdot v_{p} -L(v_{p}) \quad \text{as } k \to \infty$$

그런데 $\eqref{eq2}$에서 $p\cdot v_{k}-L(v_{k}) \to L^{\ast}(p)$였으므로 다음이 성립한다.

$$p \cdot v_{p} -L(v_{p})=L^{\ast}(p)$$

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