📂편미분방정식

변분법과 오일러-라그랑주 방정식으로부터 유도되는 해밀턴 방정식

• x와 p에 대해서, 편미분방정식의 변수임을 강조할 때는 일반 글씨체 $x,p \in \mathbb{R}^{n}$으로 표기하고, $s$에 대한 함수임을 강조할 때는 굵은 글씨체 $\mathbf{x}, \mathbf{p} \in \mathbb{R}^{n}$으로 표기한다. 마찬가지로 v도 변수임을 강조할 때는 일반 글씨체 $v \in \mathbb{R}^{n}$로 나타내고, 함수임을 강조할 때는 굵은 글씨체 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$으로 나타낸다.

해밀턴 방정식을 이끌어내는 방법에는 두 가지가 있다. 하나는 해밀턴-야코비 방정식의 특성 방정식을 구해서 얻는 방법이고, 다른 하나는 이 글에서 소개할 오일러-라그랑주 방정식으로부터 얻는 방법이다.

정의¹

$\mathbf{x}(\cdot)\in \mathcal{A}$가 작용 $I$의 극점이라고 하자. 그러면 극점의 정의에 따라 $\mathbf{x}(\cdot)$는 아래의 오일러-라그랑주 방정식 을 만족한다.

$$-\dfrac{d}{ds}D_{v} L\big( \dot{\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s)\big)+D_{x}L\big( \dot{\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s)\big)=0 \quad (0\le s \le t)$$

$\mathbf{p}$를 다음과 같이 정의하자.

$$\begin{equation} \mathbf{p}(s) := D_{v}L\big( \dot{\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s)\big) \quad (0 \le s \le t) \label{eq1} \end{equation}$$

$\mathbf{p}$를 위치 $\mathbf{x}(s)$와 속도 $\dot{\mathbf{x}}(s)$에 대한 일반화된 운동량^{generalized momentum}이라 한다.

그리고 모든 $p, x \in \mathbb{R}^n$에 대하여 $p=D_{v}L(v,x)$를 만족하는 유일한 $v=\mathbf{v}(p,x) \in \mathbb{R}^n$가 존재하고 $v\in C^\infty$라고 가정하자. 그러면 라그랑지안 $L$에 관련된 해밀토니안^Hamiltonian $H$를 다음과 같이 정의한다.

$$H(p,x):=p \cdot \mathbf{v}(p,x) - L(\mathbf{v}(p,x), x) \quad (p,x\in \mathbb{R}^n)$$

설명

고전역학에서 라그랑지안은 운동에너지에서 퍼텐셜에너지를 뺀 것으로 정의한다.

$$L = T - V = \dfrac{1}{2}mv^{2} + V(x)$$

이에 대해서 $\mathbf{p}$를 계산해보면 다음과 같으므로 $\mathbf{p}$를 일반화된 운동량이라 부르는 것이 자연스러움을 알 수 있다.

$$\mathbf{p} = D_{v}L = \dfrac{d}{dv} \left( \dfrac{1}{2}mv^{2} + V(x) \right) = mv = p$$

물리학에서 헤밀토니안은 구체적으로 운동에너지와 퍼텐셜에너지의 합인 전체 에너지^{total energy}를 의미한다. 따라서 아래에서 소개할 정리의 결과인 ’ 사상 $s \mapsto H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s)\big)$가 상수 ’ 라는 것은 시간에 따라서 전체 에너지가 변하지 않는다, 다시 말해 전체 에너지가 보존된다는 말과 같다.

또한 아래의 정리는 n개의 2계 상미분 방정식($\mathbf{x}(s)$에 대한 오일러-라그랑주 방정식)을 2n개의 1계 상미분 방정식($\mathbf{p}(s)$와 $\mathbf{x}(s)$에 대한 해밀턴 방정식)으로 나타낼 수 있다는 것을 알려준다. 식의 수가 많더라도 2계 미분방정식보다 1계 미분방정식을 푸는 것이 더 쉬운 일이라는 것은 말하면 입만 아프다.

정리

함수 $\mathbf{x}(\cdot)$와 $\mathbf{p}(\cdot)$는 해밀턴 방정식 을 만족한다.

$$\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(s)=D_{p}H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ \dot{\mathbf{p}}(s) = -D_{x}H \big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \end{cases} \quad (0 \le s \le t)$$

더하여 사상 $s \mapsto H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s)\big)$는 상수 함수이다.

증명

• Part 1.

  $v$를 $\eqref{eq1}$을 만족하는 해라고 가정했으므로 다음이 성립한다.

  $$\begin{equation} \dot{\mathbf{x}}(s)=\mathbf{v}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \label{eq2} \end{equation}$$

  그리고 $\mathbf{v}(\cdot)=\big( v^1(\cdot), \cdots, v^n(\cdot) \big)$이라고 하자. 각 $i=1, \dots, n$에 대해서 $H_{x_{i}}$는 연쇄법칙에 의해 다음과 같다.

  $$\begin{align*} H_{x_{i}}(p,x) &= \dfrac{\partial H}{\partial x_{i}} \\ &= \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \left( p \cdot \mathbf{v}(p,x) - L(\mathbf{v}(p,x), x) \right) \\ &= \sum_{k=1}^{n}p_{k}v^{k}_{x_{i}}(p,x) - \sum_{k=1}^{}L_{v_{k}}\big( \mathbf{v}(p,x), x\big)v^{k}_{x_{i}}(p,x) - L_{x_{i}}\big( \mathbf{v}(p,x), x\big) \end{align*}$$

  그런데 가정에 의해서 $p=D_{v}L(v,x)$이므로 $p_{k}=L_{v_{k}}(\mathbf{v}(p,x), x)$이다. 따라서 위의 식의 첫째항과 둘째항이 상쇄되어 다음을 얻는다.

  $$H_{x_{i}}(p,x)= - L_{x_{i}}\big( \mathbf{v}(p,x), x\big)$$

  또한 $H_{p_{i}}$를 구해보면 다음과 같다.

  $$\begin{align*} H_{p_{i}}(p,x) &= \dfrac{\partial H}{\partial p_{i}} \\ &= \dfrac{\partial }{\partial p_{i}} \left( p \cdot \mathbf{v}(p,x) - L(\mathbf{v}(p,x), x) \right) \\ &= v^{i} (p,x) + \sum_{k=1}^{n} p_{k}v^k_{p_{i}}(p,x) -\sum_{k=1}^{n} L_{v_{k}}(\mathbf{v}(p,x), x)v^{k}_{p_{i}}(p,x) \\ &= v^{i} (p,x) + \sum_{k=1}^{n} p_{k}v^k_{p_{i}}(p,x) -\sum_{k=1}^{n} p_{k} v^{k}_{p_{i}}(p,x) \\ &= v^{i} (p,x) \end{align*}$$

  이제 $H_{x_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big)$를 구해보면 다음과 같다.

  $$\begin{align*} H_{x_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) &= -L_{x_{i}}\big( \mathbf{v}(\mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) ), \mathbf{x}(s) \big) \\ &= -L_{x_{i}} \big( \dot{\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ &= -\dfrac{d}{ds}L_{v_{i}}\big( \dot {\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ &= -\dot{p}^i(s) \end{align*}$$

  두번째 등호는 $\eqref{eq2}$에 의해, 세번째 등호는 오일러-라그랑주 방정식에 의해, 마지막 등호는 $\eqref{eq1}$에 의해 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.

  $$\begin{equation} -D_{x}H \big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s)\big)=-\dot{\mathbf{p}}(s) \quad (0 \le s \le t) \label{eq3} \end{equation}$$

  또한 $H_{p_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big)$를 구해보면 다음과 같다.

  $$\begin{align*} H_{p_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) &= v^i\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ &= \dot{x}^i(s) \end{align*}$$

  따라서 다음을 얻는다.

  $$\begin{equation} D_{p}H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big)=\dot{\mathbf{x}}(s) \quad (0 \le s \le t) \label{eq4} \end{equation}$$

  그러므로 $\eqref{eq3}, \eqref{eq4}$를 정리하면 다음을 얻는다.

  $$\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(s)=D_{p}H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ \dot{\mathbf{p}}(s) = -D_{x}H \big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \end{cases} \quad (0 \le s \le t)$$

• Part 2. $H$는 $s$에 대해 무관하다

  $$\begin{align*} \dfrac{d}{ds}H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) &= \sum_{i=1}^n H_{p_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big)\dot{p}^i(s) + \sum_{i=1}^n H_{x_{i}} \big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \dot {x}^i(s)) \\ &= \sum_{i=1}^n\dot{x}^i(s) \dot{p}^i(s) - \sum_{i=1}^n\dot{p}^i(s)\dot{x}^i(s) \\ &= 0 \end{align*}$$

  두번째 등호는 $\eqref{eq3}, \eqref{eq4}$에 의해 성립한다.

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