📂편미분방정식

해밀턴-야코비 방정식과 해밀턴 방정식

해밀턴 방정식을 얻는 방법에는 두 가지가 있다. 하나는 오일러-라그랑주 방정식으로부터 얻는 것이고, 다른 하나는 이 글에서 소개할 해밀턴-야코비 방정식의 특성 방정식으로부터 얻는 방법이다.

정의¹

다음의 편미분방정식을 일반 해밀턴-야코비 방정식^{the general Hamilton-Jacobi equation}이라 한다.

$$G(Du, u_{t}, u, x, t)=u_{t}+H(Du, x)=0$$

• $t >0 \in \mathbb{R}$
• $x \in \mathbb{R}^{n}$
• $u : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$

이때 미분 연산자 $D$는 멀티인덱스 표기법을 따르며, 항상 공간변수 $x$에 대한 미분이라고 하자. 즉 $D=D_{x}$이고, $Du=D_{x}u=(u_{x_{1}}, \cdots, u_{x_{n}})$이다. 그리고 $H : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$를 해밀토니안^Hamiltonian이라 한다.

특성방정식

편의를 위해 $H \in C^{\infty} \big(\mathbb{R}^{n} \times (0,\infty) \big)$이라 가정하자. 그리고 위와 같은 해밀턴-야코비 방정식이 주어져있다. 이때 식을 간단히 하기 위해서 시공간 변수를 하나로 합쳐 $y$로 나타내자.

$$y=(x,t)=(x_{1}, \cdots, x_{n}, t)$$

또한 $u$의 시간미분, 공간미분도 $q$로 한꺼번에 나타내자.

$$\begin{align*} q &=q(Du, u_{t}) =q(u_{x_{1}}, u_{x_{2}},\dots, u_{x_{n}}, u_{t}) \\ &= (p, p_{n+1}) =(p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}, p_{n+1}) \end{align*}$$

마지막으로 $z=u$라고 하면 해밀턴-야코비 방정식은 아래와 같이 나타난다.

$$\begin{equation} G(q, z, y)=p_{n+1}+H(p, x)=0 \quad \forall (q, z, y)\in\mathbb{R}^{n+1}\times \mathbb{R} \times \big( \mathbb{R}^n\times (0, \infty) \big) \label{eq1} \end{equation}$$

$G$의 미분을 구해보면 각각 다음과 같다.

$$\begin{align} D_{q} G(q, z, y) &= (G_{p_{1}}, \cdots, G_{p_{n+1}})=\big(H_{p_{1}}(p,x), \dots , H_{p_{n}}(p,x), 1\big)=\big( D_{p} H(p,x), 1\big) \label{eq2} \\ D_{z} G(q, z, y) &= G_{z}=0 \label{eq3} \\ D_{y} G(q, z, y) &= \big( G_{y_{1}}, \cdots, G_{y_{n+1}} \big)=\big( H_{x_{1}}(p,x), \cdots, H_{x_{n}}(p,x), H_{t}(p,x) \big) =\big( D_{x}H (p,x), 0\big) \label{eq4} \end{align}$$

또한 $G(q,z,y)$의 특성 방정식은 아래와 같다.

$$\left\{ \begin{align*} \dot{q}(s) &= -D_{y} G\big(q(s), z(s), y(s) \big)-D_{z} G\big(q(s), z(s), y(s) \big)q(s) \\ \dot{z}(s) &= D_{q} G\big(q(s), z(s), y(s) \big) \cdot q(s) \\ \dot{y}(s) &= D_{q} G\big(q(s), z(s), y(s) \big) \end{align*} \right.$$

그러면 $\dot{q}(s)$는 다음과 같다.

$$\begin{align*} \dot{ q}(s) &= -D_{y} G\big(q(s), z(s), y(s) \big)-D_{z} G\big(q(s), z(s), y(s) \big)q(s) \\ &= -D_{y} G\big(q(s), z(s), y(s) \big) \\ &=- (D_{x} H(p,x), 0) \end{align*}$$

두번째 등호는 $\eqref{eq2}$에 의해, 세번째 등호는 $\eqref{eq4}$에 의해 성립한다. $q=(p, p_{n+1})$이므로, $\dot{q}$의 각 성분은 다음과 같다.

$$\begin{align*} \dot{p}^{i}(s) &= -H_{x_{i}} \big( p(s), x(s) \big) &( i=1,\dots,n) \\ \dot{p}^{n+1}(s) &= 0 \end{align*}$$

$\dot{z}(s)$는 다음과 같다.

$$\begin{align*} \dot{z}(s) &= D_{q} G\big(q(s), z(s), y(s) \big) \cdot q(s) \\ &= \Big( D_{p}H\big(p(s), x(s) \big), 1 \Big)\cdot\big( p(s), p_{n+1}(s) \big) \\ &= D_{p} H\big( p(s), x(s)\big)\cdot p(s) +p_{n+1}(s) \\ &= D_{p} H\big( p(s), x(s)\big)\cdot p(s) -H\big( p(s), x(s)\big) \end{align*}$$

두번째 등호는 $\eqref{eq2}$에 의해, 네번째 등호는 $\eqref{eq1}$에 의해 성립한다. $\dot{y}(s)$는 다음과 같다.

$$\begin{align*} \dot{y}(s) &= D_{q}G\big(q(s), z(s), y(s) \big) \\ &= \big(D_{p}H(p,x), 1 \big) \end{align*}$$

$y=(x,t)$이므로 $\dot{y}=(\dot{x}, \dot{t})$의 각 성분은 다음과 같다.

$$\begin{cases} \dot{x}(s) = D_{p}H\big( p(s), x(s) \big) \\ \dot{t}(s)=1 \end{cases}$$

위 결과로부터 $s$를 $t$와 같은 것으로 생각할 수 있다. 지금까지 계산한 것을 종합하여 해밀턴-야코비 방정식의 특성 방정식을 다음과 같이 얻는다.

$$\begin{align*} \dot{p}(s) &= -D_{x}H \big( p(s), x(s) \big) \\ \dot{z}(s) &= D_{p} H\big( p(s), x(s)\big)\cdot p(s) -H\big( p(s), x(s)\big) \\ \dot{x}(s) &= D_{p}H\big( p(s), x(s) \big) \end{align*}$$

여기서 특별히 첫번째, 세번째 식을 묶어서 해밀턴 방정식^{Hamilton’s equations}이라 한다.

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