📂바나흐공간

근사, 최적 근사

정의¹

$(X, d)$를 거리공간이라 하자. 부분집합 $U \subset X$에 대해서, 매핑 $X \to U$를 근사(법)^{approximation (method)}라 한다.

$f \in X$에 대한 최적 근사^{best approximation} $u^{\ast} \in U$를 다음과 같이 정의한다. $$ u^{\ast} = \argmin_{u \in U} d(f, u) $$

설명

"근사(近似)"란 가까운 것을 의미하므호 "$f$에 대한 근사 ($f$의 근사)"란 $f$와 가까운 것을 말한다. 수학적으로 멀다 혹은 가깝다라는 개념은 거리함수 $d$를 통해 정의된다. 따라서 근사, 최적 근사라는 개념은 거리공간 위에서 정의된다.

이와 관련하여 수학적으로 할 수 있는 질문으로는 (1) 존재하는지? (existence) (2) (존재한다면) 유일한지? (uniqueness) (3) 어떻게 찾을 수 있는지? (algorithm) 등이 있다.