📂편미분방정식

1차원 달랑베르 공식

정리¹

파동 방정식의 코시 문제가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

$$ \begin{align*} u_{tt}-u_{xx}&= 0 && \text{in } \mathbb{R}^2=\mathbb{R}_{x} \times \mathbb{R}_{t} \\ u=g,\quad u_{t}=&\h && \text{on } \mathbb{R}\times\left\{t=0\right\} \end{align*} $$

이때 $g \in C^2(\mathbb{R}), h\in C^1(\mathbb{R})$이다. 그리고 $u(x,t)$를 다음과 같이 정의하자.

$$ \begin{equation} u(x,t)=\dfrac{1}{2} \left[ g(x+t)+g(x-t) \right] + \dfrac{1}{2} \int_{x-t}^{x+t}h(y)dy \quad \forall\ (x,t)\in \mathbb{R}^2 \end{equation} $$

그러면 $u\in C^2(\mathbb{R}^2)$는 주어진 코시 문제의 해다.

설명

$(1)$을 달랑베르 공식^{d’Alembert’s formula}이라 한다. 1차원이라는 말은 공간에 대한 차원을 의미한다.

증명

주어진 미분 방정식을 다음과 같이 나타내자.

$$ (\partial_{t}+\partial_{x})(\partial_{t}-\partial_{x})u=u_{tt}-u_{xx}=0 \quad \text{in } \mathbb{R}^{2} $$

그리고 $v$를 아래와 같이 정의하자.

$$ v=(\partial_{t}- \partial_{x})u=u_{t}-u_{x} \quad \in C^1( \mathbb{R}^2) $$

그러면 주어진 미분 방정식은 아래와 같은 동차 수송 방정식이 된다.

$$ v_{t}+v_{x}=0 \quad \text{in } \mathbb{R}^2 $$

그러면 $a(\xi):=v(\xi,0), \xi \in \mathbb{R}$이라고 할 때 $v(x,t)=a(x-t)$이다. $v$의 정의에 의해 다음을 만족한다.

$$ u_{t}-u_{x}=a(x-t) \quad \forall\ (x,t)\in \mathbb{R}^2 $$

이는 비동차 수송 방정식이다. $u(x,0)=g(x)$이므로 비동차 수송 방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.

$$ \begin{align*} u(x,t) =&\ g(x+t)+\int_{0}^t a(x+(s-t)(-1)-s)ds \\ =&\ g(x+t) + \int_{0}^t a(x+t-2s)ds \\ =&\ g(x+t) +\dfrac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t}a(y)dy \end{align*} $$

세번째 등호는 $-2s+x+t=y$로 치환하면 성립한다. $g \in C^2$이고 $v \in C^1$이므로 $u$를 $t$에 대해서 미분하면 다음을 얻는다.

$$ u_{t}(x,t)=g^{\prime}(x+t)+\dfrac{1}{2}\big( a(x+t)+a(x-t)\big) $$

가정에 의해 $u_{t}(x,0)=h(x)$이므로 다음이 성립한다.

$$ h(x)=g^{\prime}(x)+a(x) \ \implies \ a(x)=h(x)-g^{\prime}(x) $$

따라서 $u(x,t)$는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} u(x,t) =&\ g(x+t)+\dfrac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t} \left[ h(y)-g^{\prime}(y) \right] dy \\ =&\ \dfrac{1}{2}\left[ g(x+t)+g(x-t) \right] + \dfrac{1}{2} \int_{x-t}^{x+t}h(y)dy \quad \forall \ (x,t)\in \mathbb{R}^2 \end{align*} $$

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